Лекция №12 Элементарные аналитические функции

Среди аналитических функций наиболее простыми являются целые функции.

Функция W = f(Z) называется целой, если она является аналитической в конечной комплексной плоскости.

Многочленом степени n называется функция вида (). Это есть целая функция, так как она всюду имеет производные.

Очевидно, при .

Мы будем рассматривать случай, когда (– комплексные числа,– комплексные переменные).

Очевидно, . Поэтому можно считать, что. Как известно из алгебры, при любомW уравнение имеетn корней в комплексной плоскости, при чем некоторые из них могут быть кратные. Следовательно, Любая точка W комплексной плоскости (W) принадлежит образу плоскости (Z) при отображении ().

Так как , рассмотренная комплексная плоскость (Z) отображается на расширенную комплексную плоскость (W). При этом каждой точке , за исключением некоторого конечного числа точек, имеет в плоскости (Z) ровно n прообразов . Найдем те исключительные W плоскости (W), которые имеют в плоскости (Z) меньше, чем n прообразов. Очевидно, к этим точкам относятся точки , у нее в плоскости (Z) один прообраз . Мы будем считать, что эта точкаявляется и кратной точкой. Будем считать, что, так как точкаW при отображении имеет в плоскости (Z) меньше, чем n прообразов, то, по крайней мере, один из них является кратным. Обозначим его через Z₀. Как известно, кратный корень уравнения является так же корнем уравнения. Производнаяимеет уже степеньn-1, поэтому уравнение будет иметь не более чемn-1 различных корней. Обозначим их через , тогда точки,…,ибудут иметь в плоскости (Z) меньше, чем n прообразов.

Точки, в которых нарушается конформное отображение

Будем изучать отображение () (1). Очевидно, производнаяпринимает нулевое значение лишь в точках. Поэтому в этих точках может нарушаться конформность отображения. В остальных точках отображениебудет конформным, так как.

В случае n = 1 мы получаем точку (). Как мы знаем, это отображение будет конформным во всей расширенной плоскости. Поэтому мы будем изучать случай, когда. Покажем, что принарушает конформность отображение (1) в любой точке. Как мы знаем, в этих точках производнаяобращается в нуль и в последней в∞.Обозначим через Z₀ какую-нибудь из точек и покажем, что в ней нарушает конформность отображения (1).

Так как Z₀ является кратным корнем уравнения , то имеет место представление, где, а Q(Z) – это многочлен степени n–k, такой, что . Возьмем в плоскости (Z) кривую ,, проходящую через точку. Мы будем считать, что, то есть кривая имеет в точкеZ₀ касательную. Отображение переведет эту кривую в,, проходящую через точку. Непосредственно не видно, что криваяимеет в точкекасательную, так как производная.

Покажем, что кривая имеет в точкекасательную. С этой целью возьмеми проведем через точкиисекущую. Очевидно, угол, который составляет эта секущая с осью и будет равен.

Произведя здесь предельный переход при , получим, что(2), следовательно, касательная к кривойв точкесуществует и составляет с осью угол, равный величине (2). Выпустим из точкиZ₀ какие-нибудь две кривые и,, которые образуют между собой угол в точкеZ₀, равный . Отображениепереведет кривые, в проходящие через точку . Эти кривые составляют между собой угол, равный, то есть при отображениив точкеZ₀ угол между кривыми увеличивается в раз. То есть в этой точке нарушается конформность отображения.

Аналогичным образом показывается, что нарушается конформность отображения (), и в точкеугол между кривыми увеличивается вn раз, при этом надо пользоваться отображением .

Отображение (1).

Рассмотрим отображение (1), где a – фиксированное комплексное число, а n – натуральное число. При n = 1 мы получаем отображение , оно конформно в расширенной плоскости. Будем считать, что. Очевидно, чтово всех точках. Следовательно, это отображение является конформным во всех точкахZ комплексной плоскости отличных от a.

По доказанному, конформность нарушается лишь в двух точках и в точке. Углы между кривыми в этих точках увеличиваются вn раз. Изучим более подробно отображение (1). Очевидно, любая точка и ∞ имеет в плоскости(W) ровно n прообразов , которые определяются формулой

, (k=0, 1,…, n-1) (2).

Из формулы (2) непосредственно видно, что все эти прообразы располагаются в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в точкеa.

Точки же иимеют в плоскости (Z) лишь по одному прообразу. Соответственно и. Выясним, как изменяются углы между кривыми в точкахи. Из равенства (1) непосредственно следует, что

(3)

(4).

Эти формулы позволят увидеть, во что отображают функции (1) окружность с центром в точке a и лучи, исходящие из точки a в окружность и луч, исходящий из нуля.

, (1)

Из (1) (3)

(4).

Из равенств (3) и (4) непосредственно следует, что функция (1) отображает окружность радиусомr c центром в точке a на окружность радиусас центром в точке ноль.

В самом деле: в силу равенства (3) окружность отображается в окружность, из равенства (4) вытекает, что когда точкаZ описывает рассматриваемую окружность в положительном направлении один раз, соответствующая точка W описывает окружность в положительном направлении n раз.

Из тех же равенств (3) и (4) вытекает, что функция (1) отображает луч (5) на луч(6).

В самом деле, из равенства (4) непосредственно следует, что луч (5) отображается в луч (6). Из формулы (3) следует, что когда точка Z, выходя из точки a и удаляясь в бесконечность, полностью описывает луч (6) (непрерывно меняется отдо ∞).

Рассмотрим теперь в плоскости (Z) угол раствора с вершиной в точкеa, ограниченный лучами (7) и(8), где.

Нетрудно видеть, что функция отобразит этот угол на угол раствораQ с вершиной в нуле, ограниченного лучами (9) и(10). Обозначим внутренность угла плоскости (Z) через d, а плоскости (W) – через q. Нетрудно видеть, что функция отображает взаимно однозначно и конформно областьd на область q. То, что это отображение конформно во всех точках d следует из того, что производная (где точкаa исключается, так как не принадлежит внутренности).

Нам остается доказать, что это отображение является взаимно однозначным. Мы знаем, что d отображается на q. Очевидно, отображение (1) является однозначным, поэтому нам достаточно доказать, что любая точка имеет вd и при том только один прообраз.

То, что этот, хотя бы один прообраз существует, следует из того, что d отображается на q. Нам остается доказать единственность этого прообраза. Как мы знаем, прообразы точки w располагаются в вершинах правильного n-угольника с центром в точке a. Поэтому в d могут попасть несколько прообразов лишь в том случае, когда раствор угла будет больше, чем . У нас же раствор угла не превышает. Поэтому W имеет в d только один прообраз. Мы пришли к теореме.

Теорема.

Функция взаимно однозначно и конформно отображает внутренность угла раствора с вершинойa, ограниченного лучами на внутренность угла плоскости (W) с раствором с вершиной в нуле, ограниченного соответствующими лучами.

Пример.

Отобразить взаимно однозначно и конформно внутренность угла, ограниченного лучами ина внутренность угла, ограниченного лучамии.

Очевидно, отображение переведет угол плоскостиZ на угол, ограниченный лучами и. Повернем полученный угол на. Произведем теперь отображение. Оно переведет лучи плоскостив лучии. Следовательно, отображениеW, равное и будет искомым.