Построение дробно-линейной функции, заданной в трех точках

Найдем вначале дробно-линейную функцию , которая в различных точкахпринимает соответствующие значения,,. Очевидно– общий вид этой функции. Так какравно нулю (), то обязательно. Поэтому.

Аналогично, так как , тои поэтому, значит.

Наконец, в силу получаем:. Аналогично получаем:.

Найдем теперь отображение , которое переводит три различные конечные точкисоответственно в три различные конечные точки:. Легко видеть, что отображение, переводящее точкисоответственно вимеет вид. Ясно, что отображениебудет переводить точкив. Поэтому, применяя к обеим частям равенства отображение, получим.

Обычно для отображения пользуются не последней формулой, предыдущей. При этом обозначаютчерезW. В результате получают равенство =:(2). Отсюда и находят.

Отметим, что если одна из точек или одна из точекобращаются в, то разности, в которых участвуют эти точки в равенстве (2) замещаются на (1).

Пример.

, тогда вместо ,.

Инвариантность двойного отношения при дробно-линейном преобразовании.

Рассмотрим четыре различные точки a, b, c, d, тогда двойное отношение называетсядвойным или ангарническим отношением.

В случае, когда одно из этих чисел a, b, c, d обращается в , разности отношения, в котором участвует этазаменяется на1. Двойное отношение обозначают символом (a, b, c, d).

Рассмотрим четыре произвольных числа a, b, c, d и какое-нибудь дробно-линейное отображение , переводящее их соответственно в числаA, B, C, D. Так как a, b, d L переводит в A, B, D, то оно имеет вид:

.

Так как W = h(z) переводит c в C, то будет выполняться равенство:

,

т. е. (A,B,C,D)=(a,b,c,d).

Итак, всякая дробно-линейная функция составляет инвариантное двойное отношение комплексных чисел.

Отображение областей ограниченных прямыми илиокружностями.

Теорема.

Если каждая из линий γ иГ является прямой или окружностью, а тройки z₁, z₂, z₃, и тройки W₁, W₂, W₃ состоящие из попарно различных точек принадлежит соответственно линиям γ иГ, то существует дробно-линейная функция W = h(z), отображающая γ на Г и, такая что, выполняется равенство h(z_k) = W_k (k = 1,2,3).

Доказательство.

Как мы знаем, существует единая дробно-линейная функция W = h(z), которая отображает точки z₁, z₂, z₃, соответственно в точки W₁, W₂, W₃. Эта функция определяется из отношения:

(1)

(разрешим отношение W и получим необходимую функцию). Эта дробно-линейная функция отобразит прямую или окружность γ на прямую или окружность .

Т.к. точки z₁, z₂, z₃ γ, то точки W₁, W₂, W₃ будут принадлежать. Но по построению отображения W = h(z) точки W₁, W₂, W₃ принадлежат еще Г.

Т.к. через закон различные точки W₁, W₂, W₃ можно провести через прямую или окружность, то= Г.

Теорема.

Пусть области g и G ограничены соответственно линиями γ и Г, каждая из которых является прямолинейной окружностью.

И тройки z₁, z₂, z₃; W₁, W₂, W₃ принадлежащие соответственно линиям γ и Г обладают свойством: при движении наблюдателя вдоль линии γ из z₁ в z₃ через z₂, которая остается слева от наблюдателя, и аналогично при движении наблюдателя вдоль линии Г из W₁ в W₃ через W₂. Область G также остается слева от наблюдателя, тогда дробно-линейная функция W=h(z), обладающая свойством: h(z_k) = W_k (k = 1, 2, 3), отображает область g на область G.

Доказательство.

Построим дробно-линейную функцию (1). Она обладает свойством (2) h(z_k)=W_k и отображает линию γ наГ. Покажем, что эта дробно-линейная функция отображает область g на область G.

Мы знаем, что дробно-линейная функция осуществляет конформные отображения 1^го рода. Поэтому, если отрезок δ, являющийся нормалью к линии γ, проведенной через точку z₂ внутрь области g, т. е. влево от наблюдателя, стоящего в точке z₂ и стоящего вдоль линии γ в выбранном направлении, то его образ Δ определен (также являющимся отрезком прямой или другой окружности) будет также направлен в левую сторону от наблюдателя, стоящего в точке W₂ и стоящего вдоль линии Г в выбранном направлении. Следовательно, этот образG, следовательно, h(g) = G.

Отобразить взаимнооднозначно и конформно верхнюю полуплоскость > 0 на внутренности единичной окружности.

Пусть z₁ = -1, z₂ = 0, z₃ = 1, W₁ = 1, W₂ = i, W₃ = -1.

Тогда, по предыдущей теореме дробно-линейная функция, определяемая уравнением , будет отображать верхнюю полуплоскостьg на внутренность G единичного круга. Можно показать, что эта функции равна .