Лекция №14 Круговое свойство дробно-линейной функции.

Теорема.

Всякая дробно-линейная (6) с определителемотображает любую прямую или окружностьплоскости (Z) на прямую или окружность Г плоскости (W). При этом образ Г прямой может быть как прямой, так и окружностью. И аналогично образ Г окружностиможет быть также как прямой, так и окружность (это круговое свойство).

Доказательство.

Рассмотрим два случая:

1. ;

2. .

1) В случае (1) обязательно и, так как определитель. Поэтому в этом случае отображение (6) принимает вид:

(7),

, . Очевидно, если число, то отображение (7), которое принимает вид(8) является сдвигом плоскости на векторплоскости. Такое отображение переводит прямую в прямую, а окружность в окружность.

Пусть , тогда отображение (7) представляет собой произведение двух отображений: растяжения плоскости и поворот. Как известно, каждое из этих отображений переводит прямую в прямую, а окружность в окружность, поэтому и в этом случае отображение (7) обладает круговым свойством (как произведение).

2) Перейдем теперь к рассмотрению случая (2). Предварительно изучим отображения

(9).

Покажем, что отображение (9) обладает круговым свойством. Как известно, общие уравнения прямой и окружности плоскости xy имеют вид

(10).

Это будет уравнение прямой, если A = 0, а . Запишем уравнение (10) в комплексной форме. С этой целью введем обозначения,,,. Тогда будет,,. Подставляя эти выражения в равенство (10), мы

(11)

(здесь А и Е вещественные числа, а Е и – сопряженные комплексные числа). В случае прямой, как мы знаем,А = 0 и по крайней мере одно из чисел B и C, что равносильно тому, что . В случае окружности, а, последнее неравенство можно записать так:. Оказывается, что, если в уравнении (11) вещественноеA = 0, а комплексное , то (11) представляет собой уравнение прямой.

Аналогично, если и, то (11) будет уравнением окружности. В этом легко убедиться, если перейти отz, к x и y, а от E и кB и С. Произведем теперь отображение (9) , то есть заменимz на , тогда уравнение (11) преобразуется так,

(12).

Легко видеть, что уравнение (12) имеет тот же вид, что и уравнение (11), в котором D и A поменялись своими ролями, и Е и поменялись своими ролями. Очевидно, (12) будет уравнением образа прямой или окружности (11) при отображении. Покажем, что это уравнение является уравнением прямой или окружности.

Возможны два случая и.

1. Пусть . Покажем, что (12) является уравнением прямой. В самом деле, еслиA = 0, то и, следовательно, (12) будет уравнением прямой, если жеи, то будети, значит. Следовательно, (12) снова является уравнением прямой (так как, а).

2. Пусть теперь . Покажем, что (12) в этом случае является уравнением окружности. Очевидно, нам достаточно доказать, что.

Пусть A = 0, тогда и, значит. Пусть теперьи, тогда очевидно (12) есть уравнение окружности.

И так отображение является уравнением окружности.

Очевидно, . Введем в рассмотрение отображения,,. Очевидно коэффициент, (так как,). Легко видеть, что отображение. Так как, по доказанному, каждое из отображенийобладает круговым свойством, то и их произведение и значитL обладают круговым свойством.

Отметим, что если , то в точкезначение. Следовательно,любая прямая или окружность , приходящая через точкуобязательно отображается в прямую. Любая же прямая или окружность, не проходящая через точку, отображается в окружность, так как образ Г линиине будет содержать бесконечно удаленной точки.