Основные понятия многочленов

Пусть Е некоторое множество точек комплексной плоскости (Z). Точка Z_0, принадлежащая (Z), называется предельной точкой из множества E, если в любой ее ε-окрестности (O_ε (Z₀): |Z – Z₀| < ε) содержится бесконечное число точек из множества Е.

Множество называетсязамкнутым, если любая точка Z, не принадлежащая Е, не является предельной для Е, иначе говоря, если Е содержит все свои предельные точки, если они существуют. В конечном множестве предельных точек нет, но оно замкнуто.

Множество называетсяограниченным, если оно содержится в некотором круге. Это определение эквивалентно следующему: множество E называется ограниченным, если существует число М > 0, что для любого Z принадлежащего E выполняется неравенство , т. е. если оно содержится в некотором круге началом в точке нуль.

Расстояние между точкой Z₀, принадлежащей (Z), и множеством , называетсянижней гранью расстояний от точек Z₀ до всевозможных точек множества Е.

ρ( Z₀, Е) =

Если Z₀ не принадлежит Е, а расстояние от Z₀ до Е равно 0 (ρ(Z₀, Е) =0), то Z₀ является предельной точкой множества Е. Следовательно, если множество Е замкнуто, а Z₀ не принадлежит Е, ρ( Z₀, Е) > 0, в противном случае, Z₀ была бы предельной точкой множества Е.

Расстояние между множествами иназываетсянижней гранью расстояний (всевозможных) то точек множества E до точек множества G. .

Легко доказывается, что если множества E, G замкнуты, и, по крайней мере, одно из них ограничено, тоρ(E,G) > 0.

Как мы знаем, всякое бесконечное ограниченное множество имеет, по крайней мере, одну предельную точку. Рассмотрим теперь произвольное неограниченное множество. Может случится, что в некотором кругесодержится бесконечное число точек изE, тогда в нем будет содержаться предельная точка множества Е.

Пусть в любом таком круге содержится лишь конечное число точек из множестваE, тогда в его внешности будет содержаться бесконечное число точек из множестваE. следовательно в ρ-окрестности бесконечно удаленной точки будет содержаться бесконечное число точек из множества E, поэтому бесконечность в этом случае будет предельной точкой для множества Е. Таким образом, всякое бесконечное множество точек комплексной плоскости имеет по крайней мере одну предельную точку, конечную или бесконечную.

Пусть E некоторое множество плоскости (Z) (), а{K} множество открытых кругов плоскости. Будем говорить, что система кругов {K} покрывает множество E, если любая точка Z, принадлежащая E, содержится, по крайней мере, в одном из кругов K, системы {K}. Справедлива теорема Бореля – Лебега о покрытии.

Теорема.

Из всякой бесконечной системы открытых кругов {K} накрывающей замкнутое ограниченное множество всегда можно выделить конечную подсистему кругов {K₁, К₂, …, К_n}, также покрывающую множество Е.

Точка Z₀ называется внутренней точкой множества E плоскости (Z), если некоторая ее окрестность O_ε(Z₀) целиком содержится в множестве .

Множество E плоскости (Z), состоящее из одних внутренних точек Z, называется открытым множеством.

Множество E плоскости (Z) называется связным, если любые его две точки Z', Z'', принадлежащие E, можно соединить ломаной, целиком лежащей в множестве Е.

Открытое связное множество называется областью.

Пусть существует некоторое множество точек плоскости (Z). Точка Z₀ плоскости (Z) называется граничной для множества E, если в любой ее окрестность O_ε(Z₀) содержатся точки, как принадлежащие множеству E, так и не принадлежащие.

Множество всех граничных точек множества E называются границей этого множества и обозначаются Г (гамма).

Объединение (замыкание множества). Замыкание любого множества является замкнутым множеством.

Точка Z₀ принадлежащая (Z) называется внешней для множества E, если существует окрестность O_ε(Z₀), не содержащая ни одной точки из множества Е.

Очевидно, множество всех внешних точек множества E составляет отрытое множество.

Пример.

1. Открытый круг является областью и обозначается . Границей круга служит окружность . Внешность круга и будет составлять множество внешних точек круга К.

2. Полуплоскости, ограниченные прямой A·x+B·y+C = 0 где А²+В² ≠ 0, является областями плоскости (Z).

3. Кольцо , где 0 < ρ < R < ∞, является связанным множеством.