Лекция №4 Ряды комплексных чисел

Символ вида W₁+W₂+…+W_n+…= (1), где W_n = u_n+i·v_n (n = 1, 2, …) комплексные числа (последовательности комплексный чисел) называются рядом комплексных чисел.

Числа W_n (n = 1, 2, …) называются членами ряда, член W_n называется общим членом ряда.

Числа вида S_n = W₁+W₂+…+W_n (2) (n = 1, 2, …), называются частичными суммами ряда (1).

Конечный или бесконечный предел S последовательности S_n называется суммой этого ряда.

Если предел S конечен, то ряд называется сходящимся, если же предел бесконечен, или вовсе не существует, то ряд расходящийся.

Если S сумма ряда (1), то пишут .

Пусть , а . Очевидно σ_n=u₁+u₂+…+u_n, τ_n=v₁+v₂+…+v_n. Как мы знаем равенство (S конечно) эквивалентно двум равенствам и . Следовательно, сходимость ряда (1) эквивалентна сходимости двух вещественных рядов: и . Поэтому на сходящиеся комплексные ряды распространяются основные свойства сходящихся числовых рядов.

Например, для комплексных рядов справедлив критерий Коши: ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда для любого , что при всехn > N и любом p = 1, 2, … выполняется неравенство .

Из этого критерия непосредственно следует необходимый признак сходимости ряда: для того, чтобы ряд (1) сходился необходимо и достаточно, чтобы его общий член W_n → 0.

Справедливы такие свойства сходящихся рядов: если ряды и сходятся к своим суммам S и d, то ряды и сходятся соответственно к суммам S ± d и λ·S .

Абсолютно сходящиеся ряды комплексных чисел.

Ряд комплексных чисел (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2).

Теорема.

Всякий абсолютно сходящийся ряд (1) комплексных чисел сходится.

Доказательство.

Очевидно, нам достаточно установить, что для ряда (1) выполняются условия критерия Коши сходимости ряда. Возьмем любое . В силу абсолютной сходимости ряда (1), ряд (2) сходится. Поэтому для выбранного, что при любомn > N и р=1,2,… будет выполняется неравенство , но, а тем более будет выполняться неравенствопри любомn > N и p=1,2,… Следовательно для ряда (1) выполняются условия критерия Коши сходимости комплексного ряда. Поэтому ряд (1) сходится. Теорема справедлива.

Теорема.

Для того, чтобы ряд комплексных чисел (1) был абсолютно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходились вещественные ряды (3) и (4) , где W_n = u_n+i·v_n (n = 1, 2,…).

Доказательство,

опирается на следующие очевидные неравенства

(5)

Необходимость. Пусть ряд (1) абсолютно сходится, покажем, что ряд (3) и (4) абсолютно сходятся, т. е. сходятся ряды и (6). Из абсолютной сходимости ряда (1) следует, что ряд (2) сходится, тогда в силу левой части неравенства (5) ряды (6) будут сходиться, т. е. ряды (3) и (4) абсолютно сходятся.

Достаточность. Пусть ряды (3) и (4) абсолютно сходятся, покажем, что ряд (1) тоже абсолютно сходится, т. е. что сходится ряд (2). Из абсолютной сходимости рядов (3) и (4) следует, что ряды (6) сходятся, поэтому сходится и ряд . Следовательно, в силу правой части неравенства (5) ряд (2) сходится, т.е. ряд (1) абсолютно сходится.

Итак, абсолютная сходимость комплексного ряда (1) эквивалентна абсолютной сходимости вещественных числовых рядов (3) и (4). Поэтому на абсолютно сходящиеся комплексные ряды распространяются все основные свойства вещественных абсолютно сходящихся числовых рядов. В частности для абсолютно сходящегося комплексного ряда справедлива теорема о перестановке его членов, т. е. перестановка членов в абсолютно сходящемся ряде не влияет на сумму ряда. Для установления абсолютной сходимости комплексного ряда может применяться любой признак сходимости положительного ряда.

Признак Коши.

Пусть для ряда (1) существует предел , тогда если q < 1 , то ряд (1) абсолютно сходится, если q>1, то ряд (1) расходится.

Признак Даламбера.

Если для ряда (1) комплексных чисел существует предел , то при q < 1 этот ряд абсолютно сходится, а если q > 1, то ряд расходится.

Пример.

Исследовать на абсолютную сходимость ряд , здесь.

Найдем . Очевидно = = . Следовательно, ряд абсолютно сходится.

Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать. Произведение абсолютно сходящегося на сходящийся ряд – сходится. Произведение двух сходящихся может расходиться.