Дифференцирование степенных рядов

Теорема.

Пусть линейный ряд (1) имеет положительный радиус сходимостиR > 0, тогда сумма ряда (1) f(Z) имеет производную в любой точкиR круга сходимости |Z-Z₀| < R. Причем эта производная равна

(2).

Доказательство.

Возьмем произвольную точку Z₁ из круга |Z-Z₀| < R и покажем, что во второй точке существует производная и выполняется неравенство(3), отсюда и будет следовать утверждение теоремы.

Вначале докажем, что ряд (2) имеет тот же ряд сходимости, что и (1) R =R'.

В самом деле,

Обозначим через сумму ряда (2). Возьмем произвольную фиксированную точкуG, такую, что |Z-Z₀| < |G-Z₀| = ρ < R

R

Очевидно для любой точки из круга |Z-Z₀| < ρ имеет место равенство:

Т. к. точка G лежит внутри круга сходимости круга ряда (2), то ряд (2) в этой точке абсолютно сходится, т. е. сходится ряд.

(4).

Следовательно, для существует такой номерn_c = n₀(ε), такой что будет (сумма остатка будет мала). Но тогда будет,Легко видеть, что функции стоящие в скобках правой части неравенства являются непрерывными функциями отZ, причем при Z = Z₁ эти функции обращаются в нуль. Поэтому для выбранного , что для всех точекZ удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство.

Т. е. неравенство выполняется, если, последнее означает, что.

Т. е. производная и равна.

По определению - это есть сумма ряда (2). Значит

Поэтому равенство (2) выполняется для любого Z из круга |Z-Z₀| < R.

Т. к. ряд (2) имеет тот же радиус, следовательно, R > 0, то его сумма тоже имеет производную в круге|Z-Z₀| < R и эта производная

Этот процесс можно продолжать неограниченно. Поэтому мы приходим к теореме.

Теорема.

Если степенной ряд

(1)

имеет положительный радиус сходимости, то его сумма I(Z) в круге сходимости | Z - Z₀ | < R бесконечно дифференцируема (т. е. имеет производную), причем производная любого порядка ρ = 1, 2 получится путем -кратного почленного дифференцирования ряда(1), так что радиусы сходимости рядов (5) равны R.

(5)

Вопросы к экзамену по тфкп

1. Комплексные числа.

2. Геометрическое изображение комплексных чисел.

3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

4. Геометрическое истолкование суммы, разности, произведения, частного двух комплексных чисел.

5. Корень n - степени из комплексных чисел. Степень с произвольным рациональным показателем.

6. Предел последовательности комплексных чисел.

7. Геометрическое истолкование предела комплексных чисел.

8. Бесконечность и стереографическая проекция.

9. Ряды комплексных чисел.

10. Абсолютно сходящиеся ряды комплексных чисел.

11. Основные понятия плоских множеств.

12. Понятия функций комплексной переменной.

13. Предел функции комплексной переменной.

14. Непрерывная функция комплексной переменной.

15. Понятие равномерно-непрерывной комплексной переменной. Понятия обобщенной непрерывной функции.

16. Непрерывные кривые. Теорема Жордана.

17. Понятия производной функции комплексной переменной.

18. Дифференцируемость и дифференциал функции комплексной переменной. Правило дифференцирования. Производная степенной и обратной функции.

19. Необходимое и достаточное условие дифференцирования функции (условие Коши-Римана).

20. Понятие моногенной и аналитической функции. Условие Коши-Римана в полярной форме.

21. Геометрический смысл аргумента комплексно-значной функции вещественной переменной.

22. Геометрический смысл производной комплексной функции.

23. Конформные отображения.

24. Геометрический смысл модуля производной.

25. Дробно-линейная функция.

26. Угол с вершиной в бесконечности или бесконечно удаленная точка.

27. Гармонические и сопряжено гармонические функции.

28. Построение мнимой части аналитической функции по ее действительной части.

29. Элементарные аналитические функции. Многочлен.

30. Точки, в которых нарушается конформность отображения.

31. Групповое свойство дробно-линейной функции.

32. Круговое свойство дробно-линейной функции.

33. Образы областей ограниченных прямой или окружностью при дробно-линейном отображении.

34. Неподвижные точки дробно-линейного отображения.

35. Построение дробно-линейной функции заданной в трех точках.

36. Инвариантность двойного отношения при дробно-линейном преобразовании.

37. Отображение области ограниченной прямыми или окружностями.

38. Показательная функция w = e^Z.

39. Тригонометрическая функция cos Z, sin Z.

40. Гиперболические функции вещественного переменного.

41. Однозначные ветви многозначных функций.

42. Логарифм.

43. Логарифмическая функция.

44. Степень с произвольным показателем.

45. Понятие поверхности Римана.

46. Степенные ряды. Теорема Коши-Адамара. Теорема Абеля.

47. Дифференцирование степенных рядов.

48. Комплексный интеграл и его свойства.

49. Изолированные особые точки аналитической функции их классификация.

50. Понятие вычета аналитической функции относительно ее особой точки. Основная теорема о вычетах.