- •Лекция №1 Комплексные числа
- •Арифметические действия над комплексными числами
- •Алгебраическая форма записи комплексных чисел
- •Геометрические изображения комплексных чисел
- •Лекция №2 Тригонометрическая форма записи комплексного числа
- •Геометрическое истолкование суммы, разности, произведения и частного двух комплексных чисел
- •Корень n – ой степени из комплексного числа
- •Степень с произвольным рациональным показателем
- •Лекция №3 Предел последовательности комплексных чисел
- •Геометрическое истолкование предела последовательности комплексных чисел
- •Бесконечность и стереографическая проекция
- •Лекция №4 Ряды комплексных чисел
- •Абсолютно сходящиеся ряды комплексных чисел.
- •Основные понятия многочленов
- •Лекция №5 Понятие функции комплексного переменного.
- •Предел функции комплексного переменного
- •Непрерывность функции комплексного переменного
- •Лекция №6 Понятие равномерной непрерывности функции комплексной переменной
- •Понятие обобщенно непрерывной функции
- •Непрерывные кривые
- •Лекция №7 Понятие производной функции комплексного переменного
- •Формула для приращения функций.
- •Лекция №8 Дифференцируемость и дифференциал функции комплексного переменного
- •Правило дифференцирования
- •Производная сложной и обратной функций
- •Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке
- •Лекция №9 Геометрический смысл определения производной функции комплексного переменного Геометрический смысл аргумента комплексно-значимой функции вещественной переменной
- •Геометрический смысл аргумента производной комплексной функции
- •Конформные отображения
- •Лекция №10 Геометрический смысл модуля производной
- •Пример (дробно-линейная функция)
- •Угол с вершиной в бесконечности или бесконечно удаленная точка
- •Лекция №11 Гармонические и сопряженные гармонические функции
- •Построение мнимой части аналитической функции по ее действительной части
- •Лекция №12 Элементарные аналитические функции
- •Точки, в которых нарушается конформное отображение
- •Лекция № 13 Свойства дробно-линейной функции Групповое свойство дробно-линейной функции
- •Лекция №14 Круговое свойство дробно-линейной функции.
- •Лекция №15 Образы областей, ограниченных прямой или окружность при дробно-линейном отображении
- •Неподвижные точки дробно-линейного отображения
- •Построение дробно-линейной функции, заданной в трех точках
- •Инвариантность двойного отношения при дробно-линейном преобразовании.
- •Отображение областей ограниченных прямыми илиокружностями.
- •Лекция №16 Показательная функция
- •Лекция №17 Тригонометрические функции cosZ, sinZ
- •Лекция №18 Гиперболические функции вещественного переменного.
- •Формулы приведения.
- •Лекция №19 Однозначные ветви многозначных функций.
- •Лекция №20 Логарифмы
- •Логарифмическая функция
- •Лекция №21 Степень с произвольным показателем
- •Общая степенная и показательная функция
- •Логарифм по произвольному основанию.
- •Понятие поверхности Римара
- •Лекция №22 Степенные ряды
- •Понятие верхнего предела вещественной числовой последовательности
- •Дифференцирование степенных рядов
- •Вопросы к экзамену по тфкп
- •Литература.
Лекция № 13 Свойства дробно-линейной функции Групповое свойство дробно-линейной функции
Множество G называется группой, если в нем определена операция умножения, ставящая в соответствие каждой паре x,yнекоторый, вполне определенный элементz, также принадлежащий G, называемый произведением элементов x и y и обозначаемый символом xy, и выполняются следующие свойства:
Для любого выполняется равенство(x·y)·z=x·(y·z) (ассоциативность).
Существует элемент eG такой, что для любого , выполняется равенствоe·x = x·e = x (e – единичный элемент).
Для любого существует элемент, называемый обратным элементом, такой, чтоx-1·x=x· x-1 = e.
Если еще для любых x·y=y·x , то группа Абелева или коммутативна.
Рассмотрим множество G всевозможных дробно-линейных функций
(1)
с определителем . Покажем, что в этом множествеG можно ввести операцию умножения, таким образом, что G станет группой.
Вначале отметим, что два отображения имы будем считать равными, если при всех . Очевидно, если существует комплексное число, такое, что
(2),
то эти два отображения будут совпадать.
Покажем, что условие (2) является и необходимым для равенства отображений и. Так как определитель, то, по крайней мере, одно из чиселa или c не равно нулю.
Пусть для определенности . Пусть. Покажем, что выполняется соответствие (2). Очевидно, поэтому, следовательно,(3). Аналогично, следовательно,и, значит(4).
Легко видеть, что при ,, поэтому, а это значит, что, поэтому. Отсюда следует, что
(5).
Из (3), (4), (5) и следует (2). (Если , то поменять числитель и знаменатель ролями).
Мы знаем, что дробно-линейная функция с определителемконформна в расширенной плоскости (Z).
Покажем, что функция осуществляет взаимно однозначное отображение плоскости (Z) на плоскость (W). Действительно каждая точка W плоскости (W) имеет в плоскости (Z) единственный прообраз (6). Следовательно, отображение является взаимно однозначным.
Отображение (6) мы будем называть обратным по отношению к и будем писать.
Введем теперь во множество G – произведение двух отображений ипо формуле
,
мы получим дробно-линейную функцию. Ее определитель
(так как ),
следовательно, .
Покажем, что это множество дробно-линейных функций с введенной операцией умножения () является группой.
Три свойства группы:
Пусть дробно-линейные функции (принадлежит множеству дробно-линейных функций с). Покажем, что выполняется равенство
(1),
для этого значения в любой точке должны быть равны.
Возьмем производную в точке (комплексной плоскости) и обозначим череззначение, будем иметь
(2)
и по определению произведения
(3).
Так как правые части равенств (2) и (3) равны, то будут равны и левые части этих равенств. Отсюда из произвольности выбора z и следует справедливость равенства (1). Следовательно, первое групповое свойство для множества M выполняется.
Покажем, что тождественное отображение является единичным элементом вM. То есть, что для выполняется равенство(4). Очевидно, длявыполняются равенстваи. Так как правые части последних равенств равны, то справедливы (4). Следовательно, u является единичным элементом во множестве M.
Возьмем произвольное , как мы знаем, у рассматриваемого отображенияL существует обратное отображение , которое также является дробно-линейным и определитель которого не ранен нулю, то есть. Покажем, что это отображениеи будет обратным элементом дляL, то есть выполняются равенства:
(5).
Возьмем любую точку . Пусть, тогда по определению обратной функции будет. Значит. Возьмем теперь произвольную точкуW. Пусть по определению обратной функции. Значит. Из последних двух равенств вытекает равенство (5).
Следовательно, множество M удовлетворяет всем свойствам определения группы, поэтому оно является группой. Эта группа не является абелевой или коммутативной. Очевидно, нам достаточно указать, что существуют отображения и, что.
Пусть , а. Посчитаем произведение. Очевидно.
Аналогично .
Как видно, правые части двух последних равенств различны (тождественно не совпадают), поэтому выполняется неравенство , то есть группаM не является абелевой.