Корень n – ой степени из комплексного числа

Возьмем произвольное комплексное число с и натуральное число n 2.

Комплексное число Z называется корнем n–ой степени из комплексного числа c, если Zⁿ = c.

Найдем все значения корня n–ой степени из комплексного числа с. Пусть c=|c|·(cos Arg c+i·sin Arg с), а Z = |Z|·(сos Arg Z + i·sin Arg Z), где Z корень n-ой степени из комплексного числа с. Тогда должно быть =c = |c|·(cos Arg c+i·sin Arg с). Отсюда следует, что иn·Arg Z = Arg с Arg Z = (k=0,1,…). Следовательно, Z = (cos +i·sin ), (k=0,1,…). Легко увидеть, что любое из значений , (k=0,1,…) отличается от одного из соответствующих значений ,(k = 0,1,…,n-1) на кратное 2π. Поэтому ,(k = 0,1,…,n-1).

Пример.

Вычислим корень из (-1).

, очевидно |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1·(cos π +i·sin π)

, (k = 0, 1).

= i

Степень с произвольным рациональным показателем

Возьмем произвольное комплексное число с. Если n натуральное число, то сⁿ = |c|ⁿ·(сos nArg с + i·sin nArg с) (6). Эта формула верна и в случае n = 0 (с≠0) . Пусть n < 0 и n Z и с ≠ 0 , тогда

сⁿ = (cos nArgс+i·sin nArg с) = (cos nArg с + i·sin nArg с). Таким образом, формула (6) справедлива для любых n.

Возьмем рациональное число , где q натуральное число, а р является целым.

Тогда под степенью c^r будем понимать число .

Мы получаем, что ,

(k = 0, 1, …, q-1). Этих значений q штук, если дробь не сократима.

Лекция №3 Предел последовательности комплексных чисел

Комплексно-значная функция натурального аргумента называются последовательностью комплексных чисел и обозначается (с_n) или с₁, с₂, ..., с_n. с_n = а_n+b_n·i (n = 1,2, ...) комплексные числа.

с₁, с₂, … - члены последовательности; с_n – общий член

Комплексное число с = a+b·i называется пределом последовательности комплексных чисел (c_n), где с_n = а_n+b_n·i (n = 1, 2, …), где для любого , что при всехn > N выполняется неравенство . Последовательность, имеющая конечный предел называетсясходящейся последовательностью.

Теорема.

Для того, чтобы последовательность комплексных чисел (с_n) (с_n = а_n+b_n·i) сходилась к числу с = a+b·i, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство lim a_n = a, lim b_n = b.

Доказательство.

Мы будем доказывать теорему исходя из следующего очевидного двойного неравенства

, где Z = x + y·i (2)

Необходимость. Пусть lim (с_n) = с. Покажем, что верны равенства lim a_n = a и lim b_n = b (3).

Очевидно (4)

Так как , когдаn → ∞, то из левой части неравенства (4) следует, что и, когдаn → ∞. поэтому выполняются равенства (3). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь выполняются равенства (3). Из равенства (3) следует, что и, когдаn → ∞, поэтому в силу правой части неравенства (4) будет , когдаn→∞, значит lim(с_n)=с. Достаточность доказана.

Итак, вопрос о сходимости последовательности комплексных чисел эквивалентен сходимости двух вещественных числовых последовательностей, поэтому на последовательности комплексных чисел распространяются все основные свойства пределов вещественных числовых последовательностей.

Например, для последовательностей комплексных чисел справедлив критерий Коши: для того, чтобы последовательность комплексных чисел (с_n) сходилась, необходимо и достаточно, чтобы для любого , что при любомn, m > N выполняется неравенство .

Теорема.

Пусть последовательность комплексных чисел (с_n) и (z_n) сходятся соответственно к с и z, тогда справедливо равенства lim(с_n z_n) = cz, lim(с_n·z_n) = c·z. Если доподлинно известно, что z не равно 0, то справедливо равенство .