Лекция №22 Степенные ряды

Ряд вида (1),

где Z₀, c₀, c₁, … c_n, ориентированные числа, а Z комплексная переменная называется степенным рядом.

Это простейший функциональный ряд, числами которого являются f_n(Z)=c_n(Z−Z₀)ⁿ, числа c₀, c₁, … c_n называются коэффициентами степенного ряда.

Этот ряд в отдельных точках может сходиться или расходиться.

Изучим структуру области сходимости и расходимости степенного ряда.

Понятие верхнего предела вещественной числовой последовательности

Рассмотрим вещественную числовую последовательность (a_n).

Число Λ называется верховым пределом последовательности, если выполняется следующее условия:

1. Для , тогда при всехn > N выполняется неравенство

2. Существует подпоследовательность .

Иначе говоря, верхним пределом называется самостоятельная прямая предельной точки этой последовательности.

Любая числовая последовательность имеет конечный и бесконечный верхний предел, который обозначается символом .

Теорема Коши-Адамара.

Пусть для степенного ряда (1) верхний предел(2) тогда:

1. Если , то ряд один абсолютно сходится во всей конечной плоскости (Z).

2. Если , то степенной ряд (1) сходится в точкеZ = Z₀ и расходится во всех точках .

3. Если , то степенной ряд (1) абсолютно сходится в любой точкеZ круга и расходится в любой его точке Z круга .

Доказательство.

1. Пусть, тогда в силу (2) будет также().

Поэтому для любой фиксированной точки Z будет , следовательно, по признаку Коши ряд (1) абсолютно сходится в любой точкеZ.

2. Пусть теперь . Покажем, что ряд (1) расходится в любой точке . Легко видеть, что некоторая последовательность . Значит для любого и тем более

Следовательно для ряда (1) в точке не выполняется необходимый признак сходимости ряда (общий член не стремится к нулю при n→∞), поэтому ряд один в этой точке расходится.

Сходимость ряда (1) в точке Z = Z₀ очевидна, т. к. в этой точке все члены ряда (1), начиная со 2, обращаются в нуль.

3. Пусть теперь 0 < Λ < +∞. Покажем, что ряд (1) абсолютно сходится в любой точке Z круга . Сходимость ряда (1) в точке Z = Z₀ очевидна. Возьмем любое из круга . Очевидно, такое что, будет выполняться .

Рассмотрим число . По определению верхнего предела существует числоN = N(), такое, что при всех n > N будет выполняться неравенство . При этих номерахn > N будет .

Следовательно, в силу признака Коши (непредельная форма), ряд (1) в точке Z будет абсолютно сходиться.

Докажем теперь, что ряд (1) расходится в любой точке Z внешности круга .

Очевидно, существует такое число , что будет выполняться равенство . По определению верхнего предела существует подпоследовательность , значит будет выполняться,, поэтому в точкеZ для ряда (1) не выполняется необходимое условие сходимости. Ряд в этой точке расходится.

Из теоремы Коши-Адамара вытекает. Что для любого степенного ряда (1) существует число , такое что, во всех числахZ круга |Z - Z₀| < R ряд (1) абсолютно сходится, а во всех точках внешности этого круга |Z - Z₀| > R ряд расходится.

Такой круг |Z - Z₀| < R называется кругом сходимости степенного ряда (1).

Число R при этом называется радиусом сходимости степенного ряда.

Очевидно,

.

Радиус окружности можно вычислить по формулам , если эти пределы существуют.

Из теоремы Коши-Адамара в частности вытекает первая теорема Абеля.

Теорема Абеля

Если степенной ряд (1) сходится в некоторой точке , то абсолютно сходится в любой точке круга |Z - Z₀| < |Z₁ - Z₀|.

Доказательство.

Т. к. ряд (1) сходится в точке Z₁, то эта точка Z₁ не лежит во внешности круга сходимости. Поэтому эта точка Z₁ либо лежит внутри круга сходимости, либо на его границе. Но тогда круг |Z-Z₀| < |Z₁-Z₀| будет целиком содержаться в круге сходимости степенного ряда |Z-Z₀| < R (т.к. |Z-Z₀| R) и потому ряд (1) во всех точках, рассматриваемого круга, абсолютно сходится.

Пример.

Найти радиус и круга сходимости степенного ряда.

Очевидно, c_n = 5ⁿ+n

Поэтому

Кругом сходимости будет