Лекция №21 Степень с произвольным показателем

Рассмотрим произвольные комплексные числа a ≠ 0 и α. Под комплексностью степени будем понимать совокупностьe^lna. Очевидно, если α это рациональное число, то мы получаем

Следовательно, новое определение степени с рациональным показателем совпадает с данным ранее. Легко видеть, что

Пусть: , тогда(4)

Из формулы (4) вытекает, что если α иррациональное, то имеет бесконечно много значений (при различныхk различные значения).

В самом деле, если бы при некоторых значения (4) были бы равны, то было бы, отсюда следовало бы, что- рационально, что невозможно.

Из равенства (4) непосредственно следует, что если α вещественно, то модули всех значений равны между собой:

, ()

Если же α является чисто мнимым числом , то все числа совокупностибудут иметь различные модули (в зависимости отk). В случае когда α имеет вид , где, все значениябудут иметь различные модули, а еслиβ иррационально, то аргументы будут различны (модули различны за счет γ).

Пример.

Найти совокупность iⁱ.

iⁱ = e^ilni ()

т. к. lni = ln|i|+i∙Argi = 0+i·(),то iⁱ = = ^.

Общая степенная и показательная функция

Для произвольного комплексного α степенная функция (это, вообще говоря, бесконечно-значная функция).

Показательная функция а^Z = e^Zlna (a ≠ 0), эта функция также является бесконечно-значной (когда а = е, то берется одно главное значение lna = lne).

Это однозначная функция, по нашему определению многозначная.

Для комплексных степеней, вообще говоря, не выполняются равенства:

и .

Логарифм по произвольному основанию.

Возьмем и определим логарифмы по основаниюa. С этой целью рассмотрим уравнение Z = a^w, относительно неизвестной W.

По определению a^w = e^wlna.

lna имеет бесконечное множество значений, зафиксируем какое-то одно из них и обозначим его через b. Тогда мы получим равенство:

Т.е.

В правой части комплексный числитель, тогда и знаменатель, имеют бесконечное множество значений.

Понятие поверхности Римара

Рассмотрим функцию: W = . Эта функция является n-значной. Из нее можно выделить n однозначных ветвей. Сделаем это следующем образом. Разобьем плоскость (W) на n равных частей лучами (1) .

Очевидно, функция Z = Wⁿ является однолистной внутри каждого угла.

(k=0,…,n-1) (2).

Эта функция отображает каждый луч (1) в положительную часть действительной оси, т. е. в луч.

ArgZ = 0+2kπ (3)

Область же (2) отображается на область ограниченную лучом (3). Следовательно, по однозначной функции W = определится n однозначных ветвей, которые заданы на одной и той же области, ограниченной лучом (3) и которые принимают значения в области (2).

Эти ветви будут определяться формулами:

()_k = (k - номер ветви),

где ,(k=0,…,n-1)

Постоим теперь поверхность Римана.

Однозначные ветви (4) мы будем рассматривать на всей плоскости (Z) с разрезом вдоль положительной части оси x-ов.

Рассмотрим n-таких плоскостей с разрезами:

Первую ветвь будет рассматривать на первом листе, вторую на втором (второй плоскости), …, n-ную ветвь на n-ом листе.

Возьмем какую-нибудь точку на положительной части оси х и отметим ее цифрами. В верхней полуплоскости цифрой 1, на нижние цифрой 2 и т. д. Отметим около нуля окружность, проходящую через отмеченную точку.

Очевидно, при движении Z по окружности из точки 1 в точку 2, аргумент Z возрастает на величину 2π. Следовательно, в рассматриваемой точке получается, что , т. е. ветвь с номеромk переходит в ветвь с номером k+1. Значит можно утверждать, что значение ветви в точке2 будет равно значению ветви в точке3 и значение в точке4 и будет равно значению ветви в точке5 и т. д.

Покажем значение n-ной ветви в точке 2π, оно будет равно значению первой ветви в точке 1 () .

Склеим теперь все эти листы следующим образом. Сложим их друг на друга в порядке убывания номеров так, чтобы их разрезы совпали.

Склеим теперь правый берег первого листа с левым берегом второго листа, правый берег второго листа с левым берегом третьего листа и т. д. И наложим правый берег n-ного листа с левым берегом первого листа.

В результате мы получим поверхность Римана для функции W = . На этой поверхности Римана многозначную функцию W = можно рассматривать как однозначную функцию.