Лекция №16 Показательная функция

W = e^Z (1)

Показательная функция W = e^Z определяется формулой e^Z = e^x(cosy+i∙siny) (2), где Z = x+i∙y. Вместо e^Z пользуются обозначением exp Z (экспонент Z).

Свойства показательной функции:

1. Из формулы (2) непосредственно следует, что дляZ (Z - конечно), ().Arge^x = y+2kπ, k. Отсюда следует, что функция W = e^Z не обращается в нуль ни в одной точке.

2. Очевидно, если Z = i∙y (x = 0), то e^i∙y = cosy+i∙siny. Это равенство позволяет записывать комплексные числа в тригонометрической форме. Действительно, если Z = Z(cosφ+i∙sinφ), где Z = |Z|, φ = argZ, то очевидно будет Z = Z·e^i∙φ (3). Это и есть показательная форма записи комплексного числа.

3. Очевидно Z = x (т. е. y = 0), то e^Z = e^x, т.е. эта функция совпадает с вещественной показательной функции.

4. Справедливо равенство [e^Z]' = e^Z (для Z).

Доказательство

Очевидно у функции W = e^Z вещественная часть u=e^x·cosy, а мнимая часть v=e^x·siny. Эта функция имеет конечно непрерывные частные производные первого порядка и следовательно являются дифференцируемыми в любой точке. Причем справедливы равенства:

Следовательно, по известной теореме о существовании производной комплексной функции в точке функции W = e^Z имеет конечную производную в любой точке Z, и эта производная будет равна:

Теорема сложения.

Для любых двух комплексных чисел Z₁ = x₁+i∙y₁ и Z₂=x₂+i∙y₂ справедливо равенство .

Доказательство

Очевидно, Z₁+Z₂=(x₁+x₂)+i·(y₁+y₂). Поэтому по определению показательной функции будет:

(4)

и

(5)

Так как правые части равенства (4) и (5) одинаковы, то и их левый части тоже равны, т. е. выполняется равенство .

Пример.

Записать в показательной форме комплексное число.

Следовательно,

Множество комплексных чисел обозначаются буквой C.

Показательная функция W = e^Z является периодической функцией периода T=2π∙i, причем этот период является основным, т. е. любой другой период W кратен этому периоду T: W = kT (k\).

Доказательство.

Покажем вначале, что число T = 2π∙i является периодом функции e^Z, т. е. что для Z выполняется равенство e^Z+2πi = e^Z. В силу теоремы сложения имеем:

Следовательно, число T = 2πi период функции e^Z.

Покажем теперь, что это основной ее период. Возьмем произвольный период W = функции e^Z. Будем иметь в виду, что для Z выполняется равенство: e^Z+w = e^Z. В частности, при Z = 0 получаем e^w = 1, т. е.

Следовательно, модули левой и правой части будут равны и следовательно. Получаем, чтоcosβ+isinβ = 1, т. е. cosβ = 1, sinβ = 0. Это возможно лишь в случае, когда , окончательно получаем, что. Значит,2πi – основной период функции.

Замечания.

1. Выражение exp(∞) лишено смысла, т.к. не существует.

2. expZ не совпадает ни с одним многочленом, так как всякий многочлен не равный постоянной, стремится к бесконечности при Z → ∞

P_n = a₀+a₁Z+…+a_nZⁿ

Целые функции отличные от многочленов называются трансцендентными, следовательно, экспонента Z (expZ) есть трансцендентная целая функция.

Возьмем плоскость (Z) и систему координат

По первому свойству показательной функции, показательная функция нигде в нуль не обращается, т. е. W = 0 не принимает этой функции не при каком Z. Следовательно, образом плоскости Z при отображении W = e^Z является плоскость (W). Покажем, что всякая другая точка плоскости (W) является образом. Дано отображение: W = expZ, где Z = x+i·y.

По 1. , т. е.y = ArgW

Итак, прообразом точки W будет точка Z:

Покажем, что любая k из найденных Z является прообразом W. Итак,

Итак, мы получим, что expZ = W, следовательно, каждая из найденных Z есть прообраз точек W.

Множество всех корней уравнения W = e^Z (W ≠ 0) представляется формулой:

(1)

Так как ArgW имеет бесконечное множество значений, различающихся попарно на целые ограниченные 2π, то точек Z бесконечно много. Следовательно, отображение W = expZ не взаимно однозначно, т. к. k-тая точка W ≠ 0 имеет бесконечное множество прообразов.

Так как производная показательной функции всюду отлична от нуля, то отображение W = e^Z конформное, то во всех точках плоскости (Z). Заставим Z описывать некоторую прямую, на пример, параллельную. Что является образом прямой параллельной мнимой оси при отображении W = e^Z?

Уравнение этой прямой Z = c+i·t, тогда

W = e^Z = e^c+it = e^c·(cost+isint),

таким образом, этой прямой будет окружность радиуса e^c c центром вначале координат. При этом, когда точка Z описывает прямую так что ордината этой точки равна t непрерывно растет от –∞ до +∞, то W описывает соответствующую окружность бесконечно много раз в одном и том же направлении (положение против часовой стрелки).

Пусть теперь точка Z описывает прямую, параллельную действительной оси. Что является образом прямой параллельной действительной оси при отображении W = e^Z? Заменим уравнение этой прямой Z = t+i·c', тогда W=e^Z=e^t+i·c'=e^t·(cos c' +I sin c').

Итак, образом прямой, параллельной действительной, оси будет являться луч, выходящий из начала координат и образующий с положительной частью действительной оси и угол c'. При этом, когда Z описывает прямую так, что абсцисса этой точки равная t, непрерывно растет от -∞ до +∞, то и W описывает соответствующий луч так, что расположение этой точки от начала координат непрерывно растет от 0 до ∞ (0 исключается).

Теорема.

При отображении W = e^Z плоскости (Z) семейство прямых параллельных мнимой оси преобразуется в семейство окружностей с центром в начале координат, а семейство прямых параллельных действительной оси в – семейство прямолинейных лучей, выходящих из начала координат.

Рассмотрим область g, представляющую собой внутренность прямолинейной полосы, параллельной действительной оси, шириной h ().

Что является образом этой полосы при отображении W = e^Z? Образом прямой y=φ₀ будет луч.

Итак, образом области g, входящей в (Z), будет область d, представляющая угол раствора h с вершиной в начале координат, ограниченной прямолинейными лучами.

При этом соответствии между точками областей g и d, устанавливаемым функцией W = e^Z, отображение будет взаимно однозначным. Действительно, прообразом некоторой точки W d, могут быть только точки

,

различающиеся друг от друга значениями мнимой части. Две такие точки лежат на прямой параллельной мнимой оси на расстоянии кратном 2π, но наша полоса g имеет ширину не более 2π, поэтому она может содержать внутри лишь один прообраз точки W.

Итак, показательная функция W = e^Z, взаимно однозначно отображает полосу ширины , параллельную действительной оси на угол раствораh с вершиной в начале координат.