Лекция №15 Образы областей, ограниченных прямой или окружность при дробно-линейном отображении

Теорема.

Пусть в плоскости (Z) даны некоторая прямая или окружность и дробно-линейное отображение

(1) с .

Пусть Г – это образ линии при отображении (1),,и,– это соответственно области комплексной плоскости, ограниченные линиямии Г, тогда дробно-линейная функция (1) отображает любую из областей,на одну из областейили. Причем различные областииотображаются на различные областии.

Доказательство.

Возьмем две произвольные точки и, так как отображение (1) взаимно однозначно и отображаетна Г, то образы точекне будут лежать наГ. Покажем, что одна из этих точек принадлежит области, а вторая –.

Пусть для определенности . Мы покажем, что. Предположим противное: пусть точкатакже принадлежит. Тогда эти две точки мы можем соединить отрезком прямой или дугой окружности, не пересекающим линииГ.

В силу кругового свойства дробно-линейной функции прообразом этого отрезка в плоскости (Z) является отрезок прямой или окружности, соединяющий точки и. Причем этот отрезок не пересекается с линией. Но такой отрезок не существует, так какилежат в различных областях, ограниченных линией. Мы получили противоречие, следовательно,.

Зафиксируем теперь точку , абудем считать переменной точкой. Тогда ясно, что все точкиотображаются в точки множества. Аналогично, фиксируяи рассматриваякак переменную точку, мы устанавливаем, что областьотображается в область.

Нам остается доказать, что отображается на всю область, а– на всю. Возьмем произвольную точку, обозначим ее прообраз через. Так как, то прообразыиобязательно должны принадлежать различным областями(так какотображается в, а– в, так как в противном случаеипринадлежали бы одной области). Но точка, значит, отсюда и следует, чтоотображается на.

Аналогичным образом показывается, что отображается на.

Неподвижные точки дробно-линейного отображения

Очевидно, у тождественного отображения все точки являются неподвижными. Будем рассматривать дробно-линейное отображениес,.

Рассмотрим случай, когда . Тогда отображениеW имеет вид , где,. Очевидно. Поэтомуявляется неподвижной точкой отображенияL.

Если , то есть еще одна неподвижная точка(). В этом случаеL имеет две неподвижные точки и. В случае, когда,других неподвижных точек, отличных отнет. Однако если мы будем считатьи стремящиеся к единице (), то точка. Следовательно, в случае,бесконечность мы можем рассматривать как пару слившихся неподвижных точек.

Пусть теперь . Тогда в точке,, а. Следовательно, в этом случае точкиине являются неподвижными. Будем считать, что,. Найдем неподвижные точки отображенияL, то есть такие, что ;. Найдем корни этого уравнения. Очевидно. Если, то получается кратный корень. Если же отличен от нуля, то получается два различных корня. Таким образом, и в этом случае дробно-линейная функция имеет две неподвижные точки, которые могут сливаться в одну.

Итак, всякая дробно-линейная функция симеет только две неподвижные точки, которые могут сливаться в одну точку. Следовательно, если некоторое дробно-линейное отображение имеет три неподвижные точки, то оно тождественное. Отсюда следует, что если некоторые два отображенияL и имеют в трех различных точкаходинаковые значения, то они совпадают ().

В самом деле, пусть (к=1, 2, 3.). Тогда обратное отображение будет обладать свойством(к=1, 2, 3.). Следовательно, отображение будет иметь своими неподвижными точками три точки:. Следовательно, будетодна неподвижная точка. Применяя к обеим частям равенства отображение, получаем (умножим обе части на, получим). Равенство установлено.