
- •Лекция №1 Комплексные числа
- •Арифметические действия над комплексными числами
- •Алгебраическая форма записи комплексных чисел
- •Геометрические изображения комплексных чисел
- •Лекция №2 Тригонометрическая форма записи комплексного числа
- •Геометрическое истолкование суммы, разности, произведения и частного двух комплексных чисел
- •Корень n – ой степени из комплексного числа
- •Степень с произвольным рациональным показателем
- •Лекция №3 Предел последовательности комплексных чисел
- •Геометрическое истолкование предела последовательности комплексных чисел
- •Бесконечность и стереографическая проекция
- •Лекция №4 Ряды комплексных чисел
- •Абсолютно сходящиеся ряды комплексных чисел.
- •Основные понятия многочленов
- •Лекция №5 Понятие функции комплексного переменного.
- •Предел функции комплексного переменного
- •Непрерывность функции комплексного переменного
- •Лекция №6 Понятие равномерной непрерывности функции комплексной переменной
- •Понятие обобщенно непрерывной функции
- •Непрерывные кривые
- •Лекция №7 Понятие производной функции комплексного переменного
- •Формула для приращения функций.
- •Лекция №8 Дифференцируемость и дифференциал функции комплексного переменного
- •Правило дифференцирования
- •Производная сложной и обратной функций
- •Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке
- •Лекция №9 Геометрический смысл определения производной функции комплексного переменного Геометрический смысл аргумента комплексно-значимой функции вещественной переменной
- •Геометрический смысл аргумента производной комплексной функции
- •Конформные отображения
- •Лекция №10 Геометрический смысл модуля производной
- •Пример (дробно-линейная функция)
- •Угол с вершиной в бесконечности или бесконечно удаленная точка
- •Лекция №11 Гармонические и сопряженные гармонические функции
- •Построение мнимой части аналитической функции по ее действительной части
- •Лекция №12 Элементарные аналитические функции
- •Точки, в которых нарушается конформное отображение
- •Лекция № 13 Свойства дробно-линейной функции Групповое свойство дробно-линейной функции
- •Лекция №14 Круговое свойство дробно-линейной функции.
- •Лекция №15 Образы областей, ограниченных прямой или окружность при дробно-линейном отображении
- •Неподвижные точки дробно-линейного отображения
- •Построение дробно-линейной функции, заданной в трех точках
- •Инвариантность двойного отношения при дробно-линейном преобразовании.
- •Отображение областей ограниченных прямыми илиокружностями.
- •Лекция №16 Показательная функция
- •Лекция №17 Тригонометрические функции cosZ, sinZ
- •Лекция №18 Гиперболические функции вещественного переменного.
- •Формулы приведения.
- •Лекция №19 Однозначные ветви многозначных функций.
- •Лекция №20 Логарифмы
- •Логарифмическая функция
- •Лекция №21 Степень с произвольным показателем
- •Общая степенная и показательная функция
- •Логарифм по произвольному основанию.
- •Понятие поверхности Римара
- •Лекция №22 Степенные ряды
- •Понятие верхнего предела вещественной числовой последовательности
- •Дифференцирование степенных рядов
- •Вопросы к экзамену по тфкп
- •Литература.
Лекция №10 Геометрический смысл модуля производной
Из
определения производной
,
следовательно,
(1).
Очевидно,
– это есть расстояние между точкамиZ
и Z0,
или что тоже – длина вектора
.
А
– это есть расстояние между их образамиf(Z)
и
f(Z0)
или длина вектора f(Z)–f(Z0).
Значит, отношение
можно рассматривать как растяжение
вектора с началом в точкеZ0
и концом в точке Z
при отображении W
= f(Z).
Поэтому,
в силу равенства (1), модуль производной
можно рассматривать как растяжение в
точке
при отображенииW
= f(Z).
Очевидно, это растяжение, вообще говоря,
не совпадает с отношением
,
но является его пределом, и это растяжение
не зависит от выбора точки
.
Пример (дробно-линейная функция)
Функция
вида W
= f(z)=(2)
называетсядробно-линейной
функцией (здесь a,
b,
c,
d
– фиксированные комплексные числа, а
z
– комплексная переменная).
Мы
будем рассматривать случай, когда
(3).
Очевидно,
в случае
строки определителя пропорциональны.
Пусть
,
и
этот случай не интересен, так как вся
плоскость переводится в одну точку.
Очевидно, выполняется, по крайней мере, одно из условий:
с = 0;
с ≠ 0.
а)
Рассмотрим случай с
= 0,
так как
,
то обязательноa
и d
не
равны нулю. Положим
,
,
тогда отображение (2) запишется в виде
,
(4).
Очевидно
производная
,
поэтому отображение (4) конформно в любой
точке плоскости
(Z).
При этом отображении угол поворота
касательной к кривым постоянен во всех
точках плоскости
(Z) и
равен
.
Растяжение также во всех точках будет
фиксировано и будет равно
.
Очевидно, если
,
то
,
и
.
Следовательно, в этом случае отсутствует поворот и растяжение.
Отображение
осуществляет при этом сдвиг всей
плоскости на вектор
.
Пусть
теперь
.
Тогда отображение (4) можно переписать
так
,
где
.
Отсюда видно, что
и
.
Таким
образом, в данном случае при отображении
(4) векторы
,
выходящие из точки
,
растягиваются в
раз и затем поворачиваются на угол
.
Следовательно, при этом отображении
вся плоскость относительно точек
растягивается в
раз и затем поворачивается на угол
.
б)
Пусть теперь с0.
Очевидно,
,
где
,
число
.
Нетрудно видеть, что производная
конечна и отлична от нуля во всех точках
,
поэтому
является конформным во всех точках
.
При этом отображении касательные к
кривым поворачиваются на угол
.
Растяжение во всех точках будет равно
.
Из
этих формул непосредственно видно, что
поворот касательных к кривым будет
одним и тем же в тех точках
,
где
сохраняет постоянное значение. Очевидно,
это будут лучи
,
исходящие из точек
.
Растяжение будет одним и тем же только
в точках
,
где
,
то есть на окружностях с центром в точке
.
Угол с вершиной в бесконечности или бесконечно удаленная точка
Рассмотрим
в плоскости
(Z)
две кривые
и
,
Выходящие из нуля.
Пусть
они образуют между собой угол Q
в нуле. Произведем отображение
.
Эти кривые соответственно перейдут в
кривые
и
,
уходящие в бесконечность.
Будем
считать, что угол между этими кривыми
в бесконечности равен углу Q
между
и
с вершиной в нуле.
Вообще
под углом
между любыми двумя кривыми
и
в плоскости(Z)
с вершиной в бесконечности мы будем
понимать угол между их образами
,
при отображении
с вершиной в нуле.
Покажем, что отображение
W
=
(2)
конформно
и в точке
.
Возьмем любые две кривые
и
плоскостиZ,
выходящие из точки
и образующие между собой уголQ.
Отображение (2) переведет точку
в бесконечность, а
и
в некоторые линии
и
с вершиной в бесконечности.
Мы
покажем, что угол между этими кривыми
с вершиной в бесконечности равен Q.
Для этого произведем отображение
,
при этом кривые
и
перейдут в некоторые кривые
и
плоскости
.
Очевидно,
угол между
и
с
вершиной в нуле, по определению, есть
угол между
и
с вершиной в бесконечности. Легко видеть,
что кривые
и
получаются из кривых
,
посредством отображения
=
(5).
Так
как при отображении (5) точка
переводится в нуль, поэтому по доказанному,
отображение (5) будет конформным в точке
,
и поэтому угол между кривыми
,
с вершиной в нуле будет равенQ.
Конформность отображения (2) в точке
установлена.
Аналогичным
образом показывается, что отображение
(2) конформно и в точке
.
Следовательно, отображение (2) конформно
в расширенной плоскости.