Наноэлектроника лит-ра / dragunov

а

б

в

г

д

301

Для разупорядоченных структур также полагали, что модуляция показателя преломления g и толщина структуры L составляют соответственно 0.025 и 200d, что с внешних сторон структура ограничена сре-

дами с показателями преломления n f nl 1 . Видно, что периодиче-

ская модуляция показателя преломления приводит к увеличению времени жизни состояний, причем это увеличение тем больше, чем ближе состояние к краю ФЗЗ. Состояния, ближайшие к краю ФЗЗ, будем называть краевыми [11].

При увеличении флуктуации (см. рис. 7.10, в) дельта функции в плотности состояний заменяются на колоколообразные зависимости. При этом «хвосты» плотности состояний начинают проникать в ФЗЗ, частоты собственных мод (Re i) и их времена жизни флуктуируют вблизи значений, соответствующих собственным модам идеальной структуры. Для краевого состояния флуктуации времени жизни больше, чем для остальных состояний.

С дальнейшим увеличением величины флуктуаций краевые состояния все глубже проникают в ФЗЗ, при этом ФЗЗ сужается, а эффекты, связанные с периодической модуляцией показателя преломле-

цией показателя преломления g, а следовательно, различными запрещенными зонами и длиной затухания 0 . Согласно [11] границы ФЗЗ в координатах напоминают параболы. Вершины парабол соответствуют пороговым значениям th . Видно, что при увеличении модуляции показателя преломления пороговое значение флуктуации th воз-

растает.

На рис. 7.11, б показана соответствующая зависимость пороговой

из модуляции показателя преломления g и приближенно описывается

туации от g, а следовательно, и от ширины фотонной запрещенной зоны означает, что даже при очень малой модуляции показателя преломления ФЗЗ «устойчива» по отношению к беспорядку [11].

302

а

б

Рис. 7.11. Критерий устойчивости фотонной запрещенной зоны к беспорядку:

а – границы ФЗЗ как функция флуктуации для структур с модуляцией показателя преломления g = = 0.025 (1), 0.05 (2), 0.1 (3); б – зависимость пороговой

Поскольку относительная ширина запрещенной зоны и затухание света на периоде прямо пропорциональны модуляции показателя преломления ( / 0 4g / n0 , Im(K0d) 2g / n0 ), в [11] критерий заполнения ФЗЗ фотонными состояниями сформулирован следующим

303

образом: «В одномерном случае вероятность появления собственной оптической моды в любом месте ФЗЗ становится существенно отличной от нуля, когда относительная флуктуация оптической длины периода становится примерно равной одной четверти затухания света на одном периоде структуры

чили точное решение для плотности состояний в ФЗЗ одномерного неупорядоченного фотонного кристалла.

Ограничившись частотами не слишком далекими от середины пер-

n

304

n

В предельном случае малых G асимптотическое выражение для M0 принимает вид

На рис. 7.12 приведены зависимости плотности состояний от частоты света, рассчитанные по формуле (7.4.11), по асимптотической

Точный

Гаусс

Асимптотика

Частота ( – 0)/(/2)

Рис. 7.12. Плотность состояний одномерного разупорядоченного фотонного кристалла, рассчитанная

305

что асимптотическая формула (7.4.12) хорошо работает внутри ФЗЗ за исключением узкой области вблизи края. Авторы [23] полагают, что точная формула (7.4.11) работает не только внутри запрещенной зоны, но и в разрешенной зоне. Так, например, правильный (медленно убывающий) характер кривой плотности состояний в области частот

0/ 2 виден и на рис. 7.12.

7.5.Фотонно-кристаллические свойства магнитогиротропных сред

Практическая реализация управляемых искусственных фотоннокристаллических структур (ФКС) является достаточно серьезной технической проблемой, поэтому большой интерес представляют ФКС естественного происхождения. Наиболее характерными естественными периодическими структурами являются монокристаллические пленки ферритов-гранатов с регулярной доменной структурой, магнитогиротропные свойства которых делают их управляемыми внешним магнитным полем [24–27].

Следуя [24], рассмотрим особенности спектра собственных электромагнитных волн в магнитной ФКС, представляющей собой периодическую плоскослоистую доменную структуру (рис. 7.13).

Такая полосовая доменная структура (ПДС) легко реализуется в феррит-гранатовых пленках с перпендикулярной анизотропией. Распределение намагниченности в таких структурах близко к ступенчатому (бинарному), что подтверждается характером спектра магнитооптической дифракции, наблюдаемой при нормальном падении света на поверхность пленки [28]. Граница раздела между двумя магнитными слоями-доменами, намагниченности которых различаются по величине и направлению, представляет собой оптическую неоднородность, формируемую гирационными членами тензора диэлектрической проницаемости и обладающую волноведущими свойствами.

При распространении света в таких пленках вдоль оси периодичности ПДС в области брэгговского отражения должны проявляться ее селективные свойства, тогда как при распространении вдоль доменов и доменных границ проявляются ее волноведущие свойства [29, 30].

Как и в [24], будем полагать, что периодическая волноводная структура (рис. 7.13) состоит из чередующихся плоскослоистых доме-

306

нов ферромагнитного диэлектрика с противоположной ориентацией магнитных моментов. Все слои имеют одинаковые материальные па-

раметры и геометрические размеры. Период структуры d d1 d2 (где di – толщины слоев). Будем также полагать, что волноводные моды

распространяются вдоль оси X, периодичность имеет место вдоль оси Y, а магнитные моменты в доменах ориентированы вдоль оси Z; управляющее подмагничивающее поле, меняющее симметрию структуры

(параметр d1 d2 ), но сохраняющее ее период, направлено вдоль

оси Z, совпадает по направлению с намагниченностью для одной группы доменов и противоположно по направлению намагниченности для другой группы (рис. 7.13).

Рис. 7.13. Геометрия периодической волноводной структуры из чередующихся плоскослоистых доменов

В этом случае компоненты тензора диэлектрической проницаемости структуры будут функцией координаты Y. Учитывая, что в реальных структурах ширина доменных границ намного меньше ширины доменов и периода структуры, распределение намагниченности внутри каждого домена будем считать однородным, а ширину домен-

В такой структуре, если пренебречь магнитной гиротропией на оптических частотах ( 1) и зависимостью волноводных полей от коор-

динаты Z, возможно существование двух типов собственных волн, распространяющихся вдоль доменов и доменных границ: ТМ-волны

с компонентами поля Ex , E y , Hz и ТЕ-волны с компонентами Hx , H y и Ez [24]. В отсутствие магнитной гиротропии параметры ТЕ-

волны не зависят от состояний намагниченности в данной структуре и, следовательно, от величины внешнего магнитного поля, поэтому этот тип волны далее рассматривать не будем.

Если зависимость модовых волновых полей от времени и координаты для ТМ-волны выбрать в виде

E(t, x, y) E( y)exp i( t kx) ,

(7.5.1)

H(t, x, y) H( y)exp i( t kx) ,

где – частота, а k – константа распространения, то выражения, определяющие зависимости от координаты y ненулевых компонент ТМволны для каждого из слоев, могут быть представлены в виде [24]

цаемость поперечно намагниченной среды, а штрих обозначает производную / y . Тогда, используя граничные условия на одной из гра-

ниц противоположно намагниченных слоев (например, для y 0 )

Hz1(0) Hz2 (0) , Ex1(0) Ex2 (0)

и условия периодичности, связывающие поля на границах, отстоящих друг от друга на период структуры, дисперсионное соотношение для рассматриваемой бинарной структуры можно представить в виде [24]

cos( ) , (7.5.2)

где эфф – эффективная (блоховская) поперечная компонента волново-

го вектора, определяющая характер распределения поля в структуре по координате y , а параметр k a / .

Решения дисперсионного уравнения при cos( эффd) 1 отвечают

вещественным значениям эффективной поперечной компоненты волнового вектора и волноводным решениям с незатухающими волновод-

ными модами. Если же cos эффd 1 , то величина эфф является

комплексной, а ее мнимая часть определяет затухание блоховских волн. В этом случае в спектре волноводных мод ( эфф , k ) появляют-

ся запрещенные зоны. Кроме того, так как дисперсионное соотношение (7.5.2) должно удовлетворять условию периодичности в « -про-

странстве», т.е.

( эфф , k) ( эфф 2 n / d , k) ,

то все физически неэквивалентные состояния находятся в первой «зоне

форме аналогично соответствующим выражениям (7.2.2) и (7.4.8) для обычного ФК.

В итоге с учетом условий периодичности общее решение волноводной задачи может быть представлено в виде (7.5.1), где зависимость модовых полей от координаты y должна иметь вид

G( y) Gn exp i эфф 2 n / d y ,

где Gn – модовые амплитуды, а суммирование проводится по полному

набору волноводных мод. Фазовая скорость соответствующей волноводной моды определится соотношением

Эти кривые двойные, неразличимые в данном масштабе. Между этими кривыми находятся решения, отвечающие значениям cos( эфф d ) 1, т. е. относящиеся к запрещенным зонам, ширина кото-

рых во многом определяется магнитооптическим параметром a и зависит от величины d / , которая в данном случае принята равной 2.96. При d / n , где n – целое число, каждая n-я запрещенная зона исчезает. Для фиксированной частоты число запрещенных зон определяет-

cos( эффd ) 1 , а также асимптотикой k k0 , и относятся к раз-

решенным зонам.

На рис. 7.15 приведена зависимость константы распространения от симметрии структуры, рассчитанная для электромагнитной волны с

5.5 0 (что соответствует пунктирной линии на рис. 7.14). Темные полосы соответствуют значениям константы распространения, для которых cos( эффd) 1, т.е. запрещенным зонам. Справа в увеличенном

310