Наноэлектроника лит-ра / dragunov

Уже первые исследования КП показали, что их транспортные характеристики существенно зависят от трех характеристических длин

[22]: длины волны электрона F , длины свободного пробега при упругом рассеянии lp , а также от длины фазовой когерентности l .

Термин когерентность (от латинского cohaerentia – сцепление, связь [23]) понимается как символ процессов, которые протекают во времени и/или в пространстве согласованным образом. Обычно когерентность проявляется в физических явлениях, обусловленных интерференцией, т. е. сложением волн с выраженной фазовой памятью. Длина когерентности электронной волновой функции определяется неупругими взаимодействиями и зависит от температуры. Упругие процессы не разрушают когерентность и длина, на которой сохраняется «фазовая память», может быть больше длины свободного пробега и даже пути, который должен пройти электрон, чтобы продиффундировать сквозь образец.

В зависимости от значений этих характеристических длин могут быть реализованы различные транспортные режимы. Так, если длина

свободного пробега электронов lp много меньше длины L и ширины b

онный режим переноса. В этом случае важную роль играет рассеяние. Если же длина свободного пробега и длина фазовой когерентности больше длины проводящего канала L, то реализуется баллистический режим переноса (рис. 4.5, б). В промежуточном случае, когда

b lp L , реализуется квазибаллистический режим (рис. 4.5, в).

Отметим, что в двух последних случаях предполагается, что размеры неоднородностей на границах проводящего канала меньше F , и, следовательно, рассеяние на границах канала является зеркальным.

4.1.Кондактанс идеального квантового проводника в баллистическом режиме

Впервые баллистический транспорт был исследован в [24], где из экспериментальных данных следовало, что проводимость баллистического канала даже в чисто классическом случае нельзя оцени-

131

вать по стандартной формуле, в которой используется понятие удельной проводимости

j E ,

здесь j – локальная плотность тока, а E – напряженность электриче-

ского поля.

В баллистическом режиме для оценки проводимости удобнее использовать кондактанс G , т.е. полную проводимость

G I V ,

где I – полный ток в проводящем канале, а V – падение напряжения на нем, так как, во-первых, геометрические размеры сверхмалых проводящих каналов, как правило, являются переменными и плохо обусловленными, что затрудняет оценку j и E , а во-вторых, если в диффузи-

онном режиме удельная проводимость описывается обычным классическим выражением

q2nlp , m

где – тепловая скорость носителей, т.е. определяется рассеянием в проводящем канале, то в баллистическом режиме сопротивление КП связано исключительно с границами между широкой двумерной областью и узким проводящим каналом.

Получим выражение для расчета кондактанса квантового проводника в баллистическом режиме. Представим себе, что имеется баллистическая одномерная структура, снабженная металлическими контактами, между которыми приложено напряжение V . Предположим, что электронный газ в контактах находится в состоянии термодинамиче-

В этом случае величина тока, который переносится состояниями, принадлежащими одной n-й поперечной подзоне размерного квантования (величина тока In , связанная с модой n), в пренебрежении пере-

132

ходами носителей заряда между подзонами, может быть представлена в виде

ответственно вероятности перехода электрона (коэффициенты прохождения) из левого контакта на пустой уровень правого контакта и из правого контакта на пустой уровень левого контакта. В (4.1.1) учтено, что полный ток равен разности токов, текущих слева направо и справа налево ([25], раздел 8.2).

Так как в (4.1.1) рассматриваются переходы слева направо и справа

133

Отсюда для кондактанса, связанного с n-й модой, имеем

При этом в пределе малых приложенных напряжений

Отметим, что говоря об «идеальности», мы автоматически имеем в виду, что внутри КП (волновода) состояния с положительными px будут заселены электронами, вышедшими из левого контакта, а состояния с px 0 – электронами, вышедшими из правого контакта (рис. 4.6).

При нулевой температуре (4.1.4) и (4.1.5) принимают вид

т.е. сопротивление одномодового канала равно 12.906 кОм.

Поскольку в (4.1.6) не входят характеристики КП, то при переносе тока по N поперечным подзонам размерного квантования полный кондактанс баллистического канала

Таким образом, ток в канале распределяется равномерно по всем модам.

134

E

L

R

Рис. 4.6. Спектр электронов в квантовом проводнике при наличии внешнего напряжения

Полное же число поперечных мод N с энергией, не превышающей энергию Ферми, можно оценить с помощью выражения (3.3.5) из [25].

Расчленение тока на равные составляющие в соответствии с числом подзон размерного квантования (или поперечных мод) является основным механизмом квантования полной проводимости КП.

Такое поведение связано с тем, что при низких температурах ток переносится электронами, имеющими энергию, соответствующую не-

большой области E , в окрестности уровня Ферми. При этом ток In ,

In оказывается не зависящим от энергии электрона и номера подзо-

ны. Это значит, что увеличение групповой скорости, направленной вдоль канала, при увеличении энергии электронов в 1D-системах точно компенсируется уменьшением плотности состояний. В результате произведение скорости на число электронов, имеющих данную скорость, остается неизменным. Таким образом, электроны из одинако-

135

вого интервала E дают одинаковый вклад в ток, а следовательно, и в проводимость независимо от их средней энергии и номера подзоны (т.е. независимо от того, около какой энергии выбрано E ).

Отметим, что формула (4.1.7) носит общий характер и не зависит ни от характеристик КП (за исключением числа распространяющихся мод), ни от условий измерений. Как и формула для квантового эффекта Холла (формула (5.3.10) из [25]), она содержит только мировые константы.

Если КП не является достаточно коротким или высококачественным (не является идеальным), то электрон, проходя по каналу, может

испытать рассеяние (в этом случае Dn в (4.1.2) не равно 1). Если при

этом электрон остается на том же квантовом уровне, то упругое рассеяние в 1D-системе можно осуществить, лишь изменив продольный

импульс px на px , т. е. повернув строго назад. В результате при уче-

те рассеяния кондактанс канала, в котором распространяется N электронных мод,

Эта формула была получена Рольфом Ландауэром [26] и носит его имя. Экспериментально кондактанс проводящих каналов в квантовом

баллистической режиме впервые изучался в работах [1, 2]. Проводящие каналы (микромостики или точечные контакты) были сформированы в двумерном электронном газе у гетерограницы GaAs-AlGaAs с помощью «расщепленного» затвора, на который относительно GaAs

подавалось отрицательное напряжение Vg (рис. 4.7). При приложении

отрицательного напряжения к расщепленному затвору Шоттки области 2D-электронного газа под затвором обеднялись электронами, оставляя узкий проводящий канал в области между затворами. При увеличении отрицательного потенциала на затворе ширина проводящего канала уменьшается. Измерения проводились при температуре 0.5 К. Ток, протекающий через канал, был фиксирован, а измерялось напряжение V . Сила тока была невелика, чтобы исключить разогрев.

Зависимость кондактанса от напряжения на затворе, полученная в [2], приведена на рис. 4.8. Видно, что зависимость кондактанса (полной проводимости) канала от его ширины, изменяемой с помощью изменения напряжения на расщепленном затворе, представляет собой

136

последовательность ступенек (квантовая лестница). Величина скачков кондактанса приближенно равна 2q2 h . Отклонения от этого значения составляют в среднем 1 %. При Vg –2.2 В проводимость становилась

равной нулю.

Такое поведение кондактанса связано с тем, что при увеличении напряжения на затворе Vg (т. е. устремлении Vg к нулю) ширина про-

водящего канала увеличивается. При этом подзоны размерного кван-

Рис. 4.9. Дисперсионные кривые КП при различной ширине проводящего канала b:

а – для канала шириной b1; б – для канала шириной b2; в – для канала шириной b3. b1< b2< b3

Эта ситуация будет продолжаться до тех пор, пока дно очередной подзоны размерного квантования, опускаясь, не пересечет уровень Ферми (рис. 4.9, в) и появится еще один канал проводимости. В ре-

зультате на зависимости кондактанса от Vg сформируется ступенька.

По мере увеличения температуры функция G Vg в области пла-

то приобретает конечный наклон («размывается») и превращается в прямую.

138

В заключение обратим внимание еще на один важный вопрос, где диссипируется энергия qV .

Наличие конечной проводимости у системы означает, что при приложении напряжения V в системе протекает ток и в единицу

времени происходит выделение энергии GV 2 . Это аналог эффекта Джоуля–Ленца в обычном проводнике. Однако если в обычном проводнике электроны, разгоняющиеся в электрическом поле, отдают приобретенную энергию кристаллической решетке, то в баллистическом КП диссипативные процессы, приводящие электрон в состояние термодинамического равновесия, отсутствуют. Тепловые потери при этом происходят не в самом КП, а в контактах, причем в обоих контактах поровну [27]. Так как в системе вырожденных электронов токоперенос осуществляется электронами на уровне Ферми, то все электроны, поступающие в левый контакт из внешней цепи, имеют энергию L . Уходят же из левого контакта в КП электроны из интер-

вала энергий R E L , т.е. со средней энергией L R / 2 . Та-

ким образом, если полагать, что распределение электронов в левом контакте равновесно и не меняется со временем, то каждый электрон, приходящий из внешней цепи, должен за счет рассеяния в контакте

контакте. В него из КП поступают электроны со средней энергией

деляется джоулево тепло и где возникает сопротивление, пространственно разнесены.

При выводе выражений (4.1.4) и (4.1.7) использовалась модель, не учитывающая отражение электронных волн на входе и выходе канала. В более реалистичных моделях различают два предельных случая – плавный (адиабатический) и резкий переходы от широкой двумерной области к узкому каналу.

139

Если ширина сужения b(x) изменяется постепенно, перенос через

КП является адиабатическим (без межподзонного рассеяния). Критерием для адиабатического переноса является условие [28]

Коэффициенты прохождения через КП с плавно изменяющейся шириной рассматривались в [29, 30]. В этих работах учитывались эффекты туннелирования и надбарьерного отражения мод, а также переходы между модами с различными n. Было показано, что в адиабатическом случае скачки кондактанса при изменении ширины канала остаются резкими, если

2 2Rbmin 1 ,

где R – радиус кривизны границ канала, а dmin – минимальная ширина

канала.

Квантование кондактанса в КП, которые имеют вид длинного волновода с резкими границами на входе и выходе, исследовалось в [31, 32]. Было показано, что в этом случае необходимо учитывать взаимодействие волн, отраженных от входа и выхода. При этом в самом начале ступеньки, т.е. на пороге открытия нового канала переноса, могут возникать осцилляции, связанные с резонансным отражением электронных волн. Резонансы возникают, когда на длине КП L укладывает-

ся целое число полуволн ( ni / L , где n h / 2m(EF En ) , i – целое число, En – энергия размерного квантования в поперечном направле-

нии). Экспериментально осцилляции кондактанса на границах ступеней наблюдались в [33].

4.2.Баллистическая проводимость квантовых проводов при конечных температурах

Как уже отмечалось, при увеличении температуры квантовая лестница проводимости может сглаживаться вследствие термических переходов электронов между заполненными и пустыми одномерными подзонами. В результате при конечной температуре согласно (4.1.4)

140