Лекция 5

7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода

Рассмотрим каким образом можно найти значение какой-либо физической или геометрической величины А, связанной с изменением какого-либо независимого параметра х, меняющегося в пределах отдоb. Считаем, что величина А – аддитивная, т.е. при разбиениина части, суммарное значение всех частей равно полной величине А, т.е..

Для определения А можно пойти двумя путями. В первом случае разобьем промежутки изменения параметра х на части, причем каждой части будет соответствовать свое значение. Каждое такое элементарное слагаемоеможно представить в виде произведения какой-то функцииfна элементарный отрезок. То есть.

Тогда приближенное значение , а точное значение.

Указанный способ основан на представлении интеграла как о сумме бесконечного большого числа бесконечно малых величин. Второй путь несколько видоизменен на промежутке изменения х . Выбираем произвольное значениеи рассматриваем промежуток. На этом промежуткестановится функцией.. Затем находим величину приращенияпри изменениина малую величину, т.е. находим дифференциалфункции.

, где- определяется условиями задачи, учитывая, чтопринаходим:.

7.1. Вычисление площадей плоских фигур

Как уже говорилось выше площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс , равна определенному интегралуили. Формула получена путем применения первого способа – метода сумм. Покажем, что именно это можно получить, используя приращение. При этомполучит приращение, представляющее площадь элементарной криволинейной трапеции.в этом случае есть главная часть приращенияприи, очевидно он равен произведению, как площади прямоугольника с высотойи с основанием.

Интегрируя полученное соотношение в пределах от до, получим. Если криволинейная трапеция расположена ниже оси, то ее площадь может быть найдена по формуле. Эти формулы можно объединить в одну. Площадь фигуры, ограниченной двумя кривымии(рис.1) при условиии прямыми;можно найти, используя соотношение:. Если плоская фигура имеет сложную форму, то прямыми, параллельными осиее следует разбить на части так, чтобы можно было применить выше записанные соотношения (рис.2). Если криволинейная трапеция ограничена прямыми,, осьюи кривой, то ее площадь находится по формуле. И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически:, прямыми,и осью, то площадь ее находится по формуле:, где α и β определяются из равенстви.

7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть дана плоская кривая АВ, уравнение которой, где(рис.3). Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена стремится к нулю. Покажем, что если функцияи ее производнаянепрерывны на отрезке, то кривая АВ имеет длину, равную. Применим способ №1. Для чего разобьем отрезокнаnчастей,каждой точкесоответствуют точки,на кривой АВ. Проведем хорды,…длины которых обозначим соответственно через ∆L_1, ∆L₂…∆L_n. Получим ломаную линиюM₀M₁…M_n, длина которой равна. Длину хорды (или звена ломаной) найдем по теореме Пифагора из треугольника с катетами ∆x_iи ∆y_i , где,. По теореме Лагранжа о конечном приращении функции. Поэтому, а длина ломаной линииM₀M₁…M_n равна (1).

Длина lкривой АВ по определению равна. Заметим, что притакже и(и, следовательно,). Функциянепрерывна на отрезке, так как по условию непрерывна функция. Следовательно, существует предел интегральной суммы, когда. Таким образом,или(2).

Если уравнение кривой задано в параметрической форме , гдеx(t) иy(t) – непрерывные функции с непрерывными производными и,, то длинаlнаходится по формуле:. Это соотношение получается из (2) путем подстановки, , .

Пример: Найти длину окружности радиуса R.

Если уравнение окружности записать в параметрической форме , то.