2. Метод Лагранжа

Линейное уравнение решается следующим образом. Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т.е. уравнение . Оно называется линейным однородным Д.У. первого порядка. В этом уравнении можно провести разделение переменных.и.Таким образом,, т.е.или, где

Метод Лагранжа состоит в том, что постоянную с в полученном решении заменяем функцией с(х), т.е. полагаем с=с(х). решение линейного уравнения при этом ищем в виде:

(7)

Найдем производную от этого соотношения. Подставляем значения у и у’ в линейное уравнение.

Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются и окончательно получим. Следовательно. Интегрируя, получим: .

Подставляя выражение с(х) в (7) получим общее решение линейного Д.У. , что совпадает с результатом полученным методом Бернулли.

В заключении отметим, что зачастую метод Лагранжа называют методом вариации произвольной постоянной, что обусловлено тем, что при решении полагают с=с(х).

Лекция 12

8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков

ДУ порядка выше первого называются ДУ высших порядков. Так ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде следующего соотношения

или, если это уравнение можно разрешить относительно старшей производной

(8)

В дальнейшем мы будем, в основном, рассматривать уравнения типа (8).Решением такого уравнения называется всякая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением такого ДУ называется функция

,

где независящие от постоянные удовлетворяющие условиям:

1) является решением ДУ для каждого фиксированного значения

2) каковым бы ни были начальные условия ,существуют единственные значения постоянныхитакие, что функцияявляется решением уравнения (8) и удовлетворяет начальным условиям.

Всякое решение уравнения (8) полученное из общего решенияпри конкретных значениях постоянныхназываетсячастным решением.

Решения ДУ (8) записанные в виде называютсяобщимичастным интегралом соответственно.

Как и в случае уравнения первого порядка, нахождение решения (8) удовлетворяющего заданным начальным условиям называется задачей Коши.

Теорема 2. Если в уравнении (8) функцияи ее частные производныеинепрерывны в некоторой области Д изменения переменныхи,

то для всякой точки существует единственное решениеуравнения (8) удовлетворяющее начальным условиям.

Аналогичные соображения и понятия можно сформулировать и для ДУ n-го порядка, которое в общем виде можно записать так:

или (9)

если его удается разрешить относительно .

Общим решением ДУ n-го порядка будет являться функция видасодержащей независящие отxпостоянные. Начальные условия для ДУ (9) записываются так:

, ,

Решение ДУ (9) получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных называетсячастным решением. Решить ДУn-го порядка означает, что найдено его общее или частное решение в зависимости от заданных начальных условий.

Сама задача нахождения решения ДУ n-го порядка гораздо сложнее, чем первого. Поэтому рассмотрим лишь решение отдельных видов ДУ высших порядков.