4.8. Приложения тройного интеграла

1) Объем тела

Объем тела V выражается формулой .

2) Масса тела

Масса тела при заданной плотности вычисляется с помощью интеграла (тройного).

3)Статические моменты

Моменты ,,тела относительно координатных плоскостейoxy,oxz,oyzвычисляются по формулам,и.

5. Центр тяжести

Координаты центра тяжести тела ,,.

Лекция 8

V. Числовые ряды

5.1. Основные понятия

Числовым рядом называются выражения вида (1), гдедействительные или комплексные числа, которые называются членами ряда,общий член ряда. Этот ряд считается заданным, если известен общий член ряда, выраженный как функция его номера. Сумма первыхчленов ряда называется- частичной суммой ряда и обозначается , т.е..

Рассмотрим частичные суммы ,,. Если существует конечный пределпоследовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называетсясуммой ряда и говорят, что ряд сходится. Записывают так . Еслине существует или, то ряд называетсярасходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим несколько свойств рядов.

Свойство 1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна , то ряд(2), где- произвольноечисло также сходится и его сумма равна. Если же ряд (1) расходится, то и ряд (2) расходится.

Свойство 2. если сходится ряд (1) и сходится ряд , а их суммы равныисоответственно, то сходятся и ряды, причем сумма каждого равна соответственно.

Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимися, так и расходящимися рядами. И из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть ряд расходящийся.

Свойство 3. если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.

Из этого свойства также следует, что если ряд (1) сходится, то его остаток стремится к нулю при, т.е..

5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда

Нахождение -й частичной суммыи ее предела для произвольного ряда во многих случаях является задачей весьма непростой. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них является необходимый признак сходимости.

Теорема. Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е., тогда иучитывая, чтопри. Получаем. Чтд.

Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если или этот предел не существует или ряд расходится.

Пример: исследовать сходимость ряда ., т.е. ряд расходится. Теорема даст необходимое условие сходимости ряда, не достаточное из условияне следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды для некоторых. В качестве примера можно рассмотреть так называемыйгармонический ряд.

Очевидно, что , но ряд расходится. (Доказывать не будем).

5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов

Рассмотрим некоторые из достаточных признаков сходимости знакоположительных рядов, т.е. рядов с .

Признаки сравнения рядов. Сходимость или расходимость ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим (эталонным) рядом, о котором известно сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.

Теорема 1. пусть даны два знакоположительных ряда и. Если для всехвыполняется неравенство, то из сходимости рядаследует сходимость ряда, а из расходимости рядаследует расходимость ряда.

Доказательство:

Из неравенства следует(1). Пусть рядсходится и его сумма равна, тогда. Члены этого ряда положительны, поэтомуи, следовательно, с учетом неравенства (1).таким образом последовательностьмонотонно возрастаети ограничена сверху числом. По признаку существования предела последовательностиимеет предел, т.е. этот ряд сходится. Если рядрасходится, то, так как члены ряда неотрицательны, то в этом случае. Тогда с учетом соотношения (1) получим, что, т.е. и рядрасходится.

Теорема.2. (предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда и.если существует конечный, отмеченный от 0 предел, то рядыисходятся и расходятся одновременно. (Без доказательств).