4.3. Основные свойства двойного интеграла

Свойства двойных интегралов аналогичны свойствам интеграла от функции одной переменной. Поэтому мы просто ограничимся перечислением этих свойств.

1), с-const

2)

3) Если область разбить линией на две областиD₁иD₂ такие, что _,а пересечениеD₁иD₂ состоит лишь из линии их разделяющей (рис.1), то _.

4) Если в области имеет место неравенство≥0 то и. Если в областифункцияиудовлетворяют неравенству≥, то и.

5) , так как.

6) Если функция непрерывна в замкнутой области, площадь которойS, то в этой области существует такая точка, что. Величинуназывают средним значением функциив области.

4.4.Вычисление двойного интеграла

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов. Пусть требуется вычислить двойной интеграл , гденепрерывна в. Тогда, как это было показано выше, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью. Найдем этот объем используя метод параллельных сечений. Ранее мы показали, что, где- площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси ох, а,- уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело. Положим сначала, что областьпредставляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямымиии кривымии, причем функцииинепрерывны и таковы, что≤для всех х. Такая область называется правильной внаправлении оси оу. Любая прямая, параллельная оси оу, пересекает границу области не более, чем в двух точках. Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси ох.. В сечении получим криволинейную трапецию АВС, ограниченную линиями, где,Z=0,и(рис.2). ПлощадьS(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла. Теперь согласно методу параллельных сечений искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:. С другой стороны, выше мы показали, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции≥0 по области. Следовательно. Это равенство обычно записывают в виде :. Полученная формула представляет собой способ вычисления двойного интеграла. Правую часть называют двукратным или повторным интегралом функциипо области. При этомназывают внутренним интегралом. Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, затем берем внешний. Т.е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.

Если же область ограничена прямыми,, кривыми,() для всех у. Т.е. областьправильна в направлении оси ох, то рассекая тело плоскостьюполучим. Здесь при вычислении внутреннего интеграла, считаем.

Пример.Вычислить, гдеограничена линиями,,.;

4.5. Приложения двойного интеграла

Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

1. Объем тела

Как уже говорилось, объем цилиндрического тела можно найти по формуле , где- уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

2. Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле для объема тела через двойной интеграл =1, то цилиндрическое тело превратить в прямой цилиндр с высотой Н=1. Объем такого цилиндра численно равен, как известно, площадиSоснования. При этом получится формула для вычисления площадиSобласти.

3. Масса плоской фигуры

Пусть дана плоская пластина с переменной плотностью γ, которую можно записать как функцию.

Разобьем пластину на элементарные части , площади которых обозначим через. В каждой областивозьмем произвольную точку. Если областьдостаточно мала, то плотность в каждой точке этой областимало отличаются друг от друга. Считая эту плотность ввеличиной постоянной мы можем найти массу:, а так как масса всей пластины, то можно записать. Точное значениеmполучим, как предел этой суммы прии, т.е..

4. Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры

Статические моменты могут быть вычислены с использованием раннее полученных соотношений по следующим формулам: и, а координаты центра масс фигуры по формулам:и.