81

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования Тюменской области

ТЮМЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА

Кафедра математики, информатики и естественных наук

Р.М. Султанаев

Высшая математика

Курс лекций

для студентов всех специальностей

очной и заочной форм обучения

( ЧАСТЬ 2 )

Тюмень, 2009

Лекция 1 Функции нескольких переменных

Функции одной переменной не охватывают все зависимости существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных. В качестве примера функций нескольких переменных будем рассматривать функцию двух переменных, т.к. основные особенности таких многоаргументных зависимостей вполне проявляются и в этом случае.

Функция двух переменных

Пусть задано множество Dупорядоченных пар чисел (х;у),и соответственно f, которое каждой паре чисел (х;у) сопоставляет только одно число Z,f=Zназывается функция двух непременных определенной на множествоDи записывается в виде Z= f(х;у). При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами),а Z зависимой переменной (функцией)., множествоD– называется областью определения функции. Примером такой функции может служить площадь прямоугольника, треугольникаи т.д.

Функция двух переменных, как и функции одной переменной может быть задана разными способами (табличный, графический и аналитический). Мы, как правило, будем пользоваться аналитическим способом, когда функция задается с помощью формулы.

1. Предел функции

Это понятие вводится аналогично случаю одной переменной. Для этого надо ввести понятие окрестности точки, (δ-окрестность точки М₀(х₀,у₀)). Это будут все внутренние точки круга с центром М₀ и радиусом δ. Итак, пусть f(х; у) =.Z определена в некоторой окрестности точки М₀(х₀,у₀), кроме, может быть, этой самой точки. Число А называется пределом Z= f(х; у) при х→х₀и у→у₀, если для любого >0 существует δ>0, такое, что для всех х≠х₀и у≠у₀удовлетворяющих неравенству<δ выполняется неравенство │f(x,y)-A│<. Записывают : или

2. Непрерывность функции двух переменных

Z= f(х; у) называется непрерывной в точке М₀(х₀,у₀), если она:

а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности.

б) имеет предел

в) этот предел равен значению функции в точке М_{0, т.е.}

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается, называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва могут образовывать целую линию разрыва. Так, функция имеет линию разрыва у=х.

3. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных

а) частные производные первого порядка.

Пусть задана функция Z= f(х; у). Т.к. х и у – независимые переменные, то одна из них может меняться, а вторая сохранять свое значение. Дадим х приращение ∆х, сохраняя у=const. Тогда ∆_хZ=f(x+∆x,y)-f(x,y). Аналогично получим ∆_у Z=f(х,у+∆у)-f(x,y). Полное приращение функции ∆Z=f(x+∆x,у+∆y)-f(x,y). Если существует предел, то он называется частной производной функции Z= f(х;у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначаетсяZ′_x,;. Аналогично определяется и частная производная по уZ′=. Все частные производные находятся по формулам и правилам, полученным раннее для функций одной переменной и при условии, что или х или у – считаютсяconst.

4. Частные производные высших порядков

Если Z= f(х;у) имеет частные производные ии они являются функциями от (х,у), то их можно продифференцировать и получить частные производные второго порядкаZ″_xx;Z″_xy;Z″_yx и Z″_yy; аналогичным образом можно ввести и определить частные производные 3, 4 и т.д. порядков. Частные производные, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. ЭтоZ″_xy и Z″_yx.

Теорема. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой, т.е.Z″xy=Z″_yx.