Лекция 4

III. Определенный интеграл

1. Определение определенного интеграла

Пусть в нашем распоряжении есть функция , определенная на отрезке.

1. Разобьем отрезок на n произвольных частей точками.

2. В каждом из отрезков выберем произвольную точку_ивычислим значение функции в ней, т.е.величину

3. Умножим найденное значение функции на длину соответствующего отрезкаи получим величину.

4. Составим сумму S_nвсех таких произведений.Сумма подобного вида называется интегральной суммой функциина отрезке.

5. Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка.

6. Найдем предел интегральной суммы при условии так, что.

Если при этом интегральная сумма S_n имеет предел равныйI, который не зависит от способа разбиения отрезкана частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то числоIназывается определенным интегралом функциина отрезкеи обозначается. Таким образом,. Числаaиbназываются нижними и верхними пределами интегрирования,- подынтегральной функцией,dx– подынтегральным выражением,x– переменной интегрирования,- областью интегрирования функции, для которой на отрезкесуществует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом участке.

Теор. Коши. Если функциянепрерывна на отрезке, то определенный интегралсуществует.

Непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако, неопределенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

2. Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке задана непрерывная функция. Нарисуем график этой функции. Фигура ограниченная сверху графиком функции, снизу осьюox, сбоку линиямиx=aиx=bназывается криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции. Для этого отрезокразделим точкаминаnчастей и т.д. повторяя то, что мы делали выше, получим- будет равна площади ступенчатой фигуры и приближено площади криволинейной трапеции

С уменьшением величины точность приближенияSкриволинейной трапеции кSпрямоугольной. Точность записанного выше соотношения возрастает. Поэтому за точное значение площади криволинейной трапеции принимается пределS, к которому стремится площадь ступенчатой фигурыS_n, когдатак, чтопри.

, то есть.

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.

3) Работа переменной силы

Пусть материальная точка перемещается под действием силы F, направленной вдоль осиOXи имеющей переменную величину. Найдем работу по перемещению точки М на.. Для определения приближенного значения работы на всем участке, нам надо произвести суммирование на всем отрезке.

.

Точность этого равенства возрастает с уменьшением и увеличениемn. Поэтому за точное значение работы принимается предел этой суммы

.

4. Формулы Ньютона-Лейбница

Пусть - функция, интегрируемая на.

Теорема: Если- непрерывна на отрезкеиее первообразная на отрезке(=), то имеет место соотношение.

Доказательство:

Для этого отрезок разделим точкаминаnотрезков. Введем средние точки для каждого из отрезков. Рассмотрим соотношение.

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранже .

Получим: ,

т.е. . Т.к.непрерывна на, то она интегрируема на, поэтому перейдя к пределу при. Получим:

.

Формула Ньютона-Лейбница позволяет получить удобный способ вычисления определенных интегралов. Чтобы вычислить определенный интеграл от неправильной функции на отрезке надо найти ее первообразную функциюи взять разностьзначений этой первообразной на концах отрезка.

Пример:

.