- •Лекция 1 Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •Лекции №№2,3
- •II. Неопределенный интеграл
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •Лекция 4
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •Лекция 5
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •Лекция 6,7
- •4. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •Лекция 8
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •Лекция №9 Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Лекция №10
- •VII Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •Лекция 11.
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •2. Метод Лагранжа
- •Лекция 12
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Лекция 13
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Лекция 14
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
6. Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим несколько вариантов нахождения интегралов от тригонометрических функций. Для простоты обозначим - функцию с переменными, над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение и деление).
вычисление интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой, которая называется универсальной. Действительно,;;. Поэтому=, гдеR1(t) – рациональная функция отt. Обычно этот способ довольно громоздок, но всегда приводит к определенному результату. На практике применяют и другие более простые подстановки в зависимости от свойств подынтегральной функции.
а) если функция нечетна относительноsinx, т.е.=, то можно применить подстановкуcosx=t.
б) если нечетна относительноcosx, т.е.=, то применяют подстановкуsinx=t.
в) если функция четная относительно SinxиCosx=, то можно использовать подстановкуtgx=t. Такая же подстановка используется, если интеграл имеет вид.
г) интеграл типа .
Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:
подстановка sinx=t, еслиn– целое положительное нечетное число.
подстановка cosx=t, еслиm- целое положительное нечетное число.
формулы понижения порядка ,,
, еслиm,n– целые неотрицательные числа.
Подстановка tgx=t, еслиm+n– четное отрицательное целое число.
Пример: ;
7. Интегрирование иррациональных функций
Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.
а) интегралы типа называются неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их находят следующим образом: под радикалом выделяют полный квадрат:
и делают подстановку.
. При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий – к сумме двух табличных интегралов.
Пример: . Т.к., то
. Сделав подстановку, тогда
.
б) Интегралы типа , гдеPn(x) – многочлен степениnможно вычислить пользуясь формулой(1)
где Qn-1(x) – многочлен степени (n-1) с неопределенными коэффициентами,- также неопределенный коэффициент. Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества получаемого дифференцированием обоих частей равенства. (1)
после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной х.
в) Дробно-линейная подстановка
Интегралы типа , гдеa,b,c,d– действительные числа,- натуральные числа, сводящиеся к интегралам от рациональной путем подстановкиk– наименьшее общее кратное знаменателей дробейДействительно из подстановки, следует, чтои
, т.е.xи dxвыражаются через рациональные функции отt. При этом и каждая степень дробивыражается через рациональную функцию отt.
г) Интегралы типа .
Здесь подынтегральная функция – рациональная функция относительно и, выделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку, и интегралы данного типа приводятся к интегралам уже рассмотренного типа, т.е. к интегралам типа;;. Эти интегралы вычисляются с помощью соответствующих тригонометрических подстановокдля интегралов первого типа,- второго,- третьего.
Следует отметить, что операции интегрирования функции значительно сложнее операции дифференцирования функций на практике при вычислении интегралов используют различные справочники, содержащие таблицы наиболее часто встречающихся интегралов.
Однако зачастую интеграл выражается через элементарные функции, в этом случае говорят, что интеграл не теряется (или его нельзя найти).
Так, например, нельзя взять интеграл , так как не существует элементарной функции, производная от которой была бы равна.