- •Лекция 1 Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •Лекции №№2,3
- •II. Неопределенный интеграл
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •Лекция 4
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •Лекция 5
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •Лекция 6,7
- •4. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •Лекция 8
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •Лекция №9 Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Лекция №10
- •VII Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •Лекция 11.
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •2. Метод Лагранжа
- •Лекция 12
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Лекция 13
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Лекция 14
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
Лекция №9 Степенные ряды
1 Функциональные ряды
1.1 Основные понятия
Ряд, членами которого являются функции от , называется функциональным.. Придаваяопределенное значение х0 мы получаем числовой ряд , который может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда, если ряд расходится – точкой расходимости. Совокупность числовых значений аргумента, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой суммой от:. Определяется она в области сходимости ряда равенством, где- частичная сумма ряда. Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особая роль принадлежит рядам, членами которых являются степенные функции аргумента, т.е. так называемые степенные ряды.
Действительные или комплексные числа ,, …,… называются коэффициентами ряда, а- действительной переменной. Ряд расположен по степеням. Рассматривают такие степенные ряды, расположенные по степеням, т.е. ряд вида, где- некоторое постоянное число. Этот ряд легко приводится к первому, если положить.
1.2. Сходимость степенных рядов
Область сходимости степенного ряда содержит, по крайней мере, одну точку: , в которой ряд сходится.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях, удовлетворяющих неравенству.
Доказательство. По условию ряд сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости. Отсюда следует, что величинаограничена, т.е. найдется такое число, что для всехвыполняется неравенство,. Пусть, тогда величинаи следовательно,,, т.е. модуль каждого члена ряда не превосходит соответствующего члена сходящегося рядагеометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения пристепенной ряд абсолютно сходящийся.
Следствие. Если ряд (степенной) расходится при , то он расходится и при всех, удовлетворяющих неравенству.
1.3. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
Из теоремы Абеля следует, что если есть точка сходимости степенного ряда, то интервалвесь состоит из точек сходимости данного ряда при всех значенияхвне этого интервала ряд расходится.
Интервал называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив, интервал сходимости можно записать в виде. Числоназывается радиусом сходимости степенного ряда, т.е.- это такое число, что при всех, для которых, ряд абсолютно сходится, а приряд расходится. В частности, когда степенной ряд сходится лишь в одной точке, то считаем, что. Если же степенной ряд сходится при всех значениях, то.
Отметим, что на концах интервала сходимости (при и=-R) сходимость ряда проверяется отдельно.
Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел,. По признаку Даламбера ряд сходится, если, т.е. ряд сходится при тех значениях, для которых. Ряд, составленный из модулей членов степенного ряда, расходятся при тех значениях, для которых. Таким образом, для степенного ряда радиус абсолютной сходимости(1).
Аналогично, воспользовавшись радикальными признаками, можно установить, что (2).
Дополнение:
Если , то можно убедиться, что ряд степенной абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае. Если, то.
Интервал сходимости степенного ряда по степеням находят их неравенстваи имеет вид.
Если степенной ряд содержит не все степени , т.е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости в соответствии с формулами (1) и (2), а непосредственно применяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.
Пример 1. Найти область сходимости ряда . Воспользуемся формулой (1), следовательно данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.
Пример 2. Найти область сходимости ряда . Данный ряд неполный. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем,.. Ряд абсолютно сходится, еслиили. Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. Приимеем ряд, который сходится по признаку Лейбница. Приимеем ряд, это тоже сходящийся лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок.
1.4. Свойства степенных рядов
1) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости.
2) Степенные ряды и, имеющие радиусы сходимости соответственноR1 и R2, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности этих рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R2,.
3) Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать, при этом для ряда привыполняется равенство(1)
4) Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для степенного ряда при выполняется равенство(2). Ряды (1) и (2) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд. Свойства степенных рядов широко используются в теоретических исследованиях и приближенных расчетах.