2. Некоторые приложения степенных рядов

2.1. Приближенное вычисление значений функций

Пусть требуется вычислить значение функции прис заданной точностью. Если функциюв интервалеможно разложить в степенной ряди, то точное значениеравно сумме этого ряда при, т.е., а приближенное – частичной сумме, т.е.Точность этого равенства увеличивается с ростом, абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е., гдеТаким образом, ошибкуможно найти, оценив остатокряда.

Для рядов лейбницевского типа . В остальных случаях ряд знакопеременный или знакоположительный составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обычно это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался и в качестве оценкиберут величину остатка этого нового ряда.

2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов

Бесконечные ряды применяются для вычисления неопределенных и определенных интегралов в случае, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции, либо нахождение первообразной сложно.

Пусть требуется вычислить с точностью до . Если подынтегральную функцию можно разложить в ряд по степенямx и интервал сходимости включает в себя отрезок, то для вычисления заданного интервала можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычисления определяют так же, как и при вычислении значений функции.

Пример. Вычислить интеграл с точностью до

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Макларена, заменяя x на (–x²) . Интегрируя обе части равенства на отрезке, лежащем внутри интервала сходимости, получимПолучили ряд Лейбницевского типа. Так как, а, то с точностью до 0,001 имеем:.

Лекция №10

VII Ряды Фурье

7.1. Основные понятия

При изучении процессов, имеющих периодический характер, т.е. процессов, которые через определенный промежуток времени повторяются, более целесообразно разлагать функции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.

Напомним, что функция , определенная на множествеD, называется периодической с периодом T>0, если при каждом значениеи выполняется равенство.

Для построения графика периодической функции периода T достаточно построить его на любом отрезке длины T и периодически продолжить его на всю область определения.

Отметим основные свойства периодической функции:

1. Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период T есть периодическая функция с периодом T.

2. Если функция имеет периодT, то функция имеет период: действительно,.

3. Если функция имеет периодT и интегрируема на отрезке , топри любыхиb.

Доказательство: пусть , тогда, с другой стороны, но. Подставляя полученный результат, получимч.т.д.

В частности, . Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функциии. Период этих функций равен 2π, т.е.. Простейшим периодическим процессом является простое гармоническое колебание, описываемое формулой

(1)

, где А – амплитуда колебаний, ω – частота, φ₀ – начальная фаза.

Функцию такого вида называют простой гармонической. Основным периодом этой функции является , т.е. одно полное колебание совершается за промежуток времени(а ω показывает, сколько колебаний совершает точка в течении 2π единиц времени).

Проведем преобразование этой функции , где

, (2)

. Отсюда видно, что простое периодическое колебание описывается функциями и.

Сложное гармоническое колебание, возникающее в результате наложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, также описывается функциями типа и. Так, функцияили, что равносильно, функциязадает сложное гармоническое колебание. Так как период первой гармонии есть, второй, третьейи т.д., а период функции(нулевая гармония) есть любое чисел, то функцияимеет период, равный 2π, т.е..

Понятно, что при наложении простых гармоник получаем периодическую функцию, описывающую сложное периодическое колебание (периодический процесс). Возникает вопрос: всякую ли периодическую функцию, описывающую периодический процесс, можно представить в виде суммы простых гармоник вида (1) и (2). Если да, то как найти неизвестные параметры каждой из этих гармоник? Ответим сначала на второй, а затем на первый вопрос.