4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.

Рассмотрим линейное неоднородное ДУ n-гопорядка

, где- заданные непрерывные функции на (a,b). Соответствующее ему однородное уравнение имеет вид

Теорема: Общее решение ЛНДУn-го порядка равно сумме частного решения у* неоднородного уравнения и общего решениясоответствующего ему однородного уравнения т.е.. Частное решение ЛНДУn-го порядка может быть найдено, если известно общее решениеоднородного уравнения, методом вариации произвольных постоянных. Оно ищется в виде- частные решения, образующие фундаментальную систему однородного уравнения.

Система уравнений для нахождения неизвестных имеет вид

Однако, для ЛНДУ n– го порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого имеет специальный вид, частное решение у* может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.

Метод подбора частного решения у* уравнения , а правая частьf(x) имеет специальный вид описанный в п.3 для случаяn=2, переносится без всякого изменения и на случай уравнения, имеющего порядок.

Пример:

Найдем ,

Отсюда

Найдем у* , следовательно

. Тогда, откуда А= -1,В=0 и получим. Следовательно функцияявляется общим решением уравнения.

Лекция 14

6. Системы дифференциальных уравнений

Для решения многих практических задач в различных областях науки и техники нередко требуется использовать не одну, а много функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную . Совокупность всех этих ДУ и образует систему. Системой ДУ называется совокупность ДУ каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные. Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащейnискомых функций, следующий :

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. система вида

(1)

Называется нормальной системой ДУ. При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Замечание: Во многих случаях системы уравнений и уравнения высших порядков можно свести к нормальной системе (1).

Так система трех ДУ второго порядка

описывающая движение точки в пространстве, путем введения новых переменных ,иможно привести к нормальной системе ДУ.

Подобную операцию можно производить и с системами уравнений, содержащих производные более старшего порядка. Отсюда следует полезность изучения именно нормальных систем.

Решением системы(1) называется совокупность изnфункцийудовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.Начальные условиядля системы (1) имеют вид. (2)

Задача Кошидля системы ставится так: найти решение системы уравнений (1) удовлетворяющее начальным условиям (2).Условия существования и единственность решения определяется теоремой Коши.

Теорема Коши: Если в системе (1) все функции непрерывны вместе со своими частными производными пов некоторой области- мерного пространства, то в каждой точкеэтой области существует, и притом единственное, решениесистемы, удовлетворяющее начальным условиям (2).

Меняя в области Д точку (т.е. начальные условия) получим бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде решения зависящего отnпроизвольных постоянных :

Это решение является общим, если по заданным начальным условиям (2) можно однозначно определить постоянные , из системы уравнений

Решение, получающееся из общего, при конкретных значениях постоянных () называетсячастным решением системы (1).

1. Решение нормальных систем.

Одним из основных методов решения нормальной системы ДУ является метод сведения системы к одному ДУ высшего порядка. (Обратная задача – переход от ДУ к системе – рассмотрена ранее) Сам метод основан на следующих соображениях : пусть задана система нормальных ДУ (1).Продифференцируем по х любое, например, первое уравнение

Подставив в это равенство значение производных из системы (1) получим

. Продолжая этот процесс (дифференцируем- подставляем- получаем ) найдем :. Соберем все уравнения в систему

(3)

Из первых (n-1) уравнений системы (3) выразим функциичерезфункциюи ее производные. В результате получим:

(4)

Найденные значения подставим в последнее из уравнений системы (3).Получим одно ДУn-го порядка относительно искомой функцииy

. Пусть его решение есть.

Продифференцировав его (n-1) раз и подставив значения производныхв уравнения системы (4) найдем функции.

.

Пример: Решить систему уравнений

Продифференцируем первое уравнение :, подставляемв полученное равенство.

Составим систему уравнений . Из первого уравнения системы выражаемzчерезyи:(5)

Подставляем zво второе уравнение последней системы :

т.е.

Получили ЛОДУ второго порядка. Решаем его: характеристическое уравнение имеет вид

,- общее решение уравнения.

Найдем функцию z.Значенияподставим в выражениеzчерез(5).Получим :.

Таким образом, общее решение данной системы уравнений имеет вид:

,.