5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)

1.Структура общего решения лнду второго порядка.

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка

(20)

Где - заданные непрерывные на (a,b) функции ,уравнениелевая часть которого совпадает с левой частью нашего уравнения называетсясоответствующим емуоднородным уравнением .

Теорема : Общим решением уравнения (20) (y) является сумма его произвольного частного решенияy* и общего решениясоответствующего однородного уравнения т.е.. Доказательство этой теоремы опустим.

2.Метод вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим ЛНДУ (20) .Его общим решением, согласно только, что приведенной теоремы является соотношение . Чаcтное решениеy* уравнения (20) можно найти ,если известно общее решениесоответствующего однородного уравненияметодом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) состоящий в следующем: пусть- общее решение однородного уравнения.Заменим в общем решении постоянныеинеизвестными функциямиии подберем их так, чтобы функциябыла решением уравнения (20).Найдем производную

Подберем функции итак, чтобы, (21), тогда

, а .

Подставляя выражения для y* ,ив уравнение (20) получим

Или

Поскольку и- решение соответствующего однородного уравнения, то выражения в квадратных скобках равны нулю, и поэтому

(22)

Таким образом, функция y* будет частным решением уравнения (20) еслии

удовлетворяют системе уравнений (21) и (22).

(23)

Определитель системы ,так как это определитель для фундаментальной системы частных решенийиоднородного уравнения .Поэтому система (23) должна иметь единственное решениеи, гдеи- некоторые функции отx. Интегрируя эти функции находими, а затем , в соответствии с формулой для у* составляем частное решение уравнения (20).

Пример:;

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Имеем

Следовательно, .Теперь найдем частное решение у* исходного уравнения .Оно, как говорилось выше, ищется в виде.Для нахожденияисоставим систему уравнений

Решаем ее

;

Запишем частное решение данного уравнения .Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

.

При нахождении частных решений ЛНДУ может оказаться полезной следующая теорема:

Теорема: Если правая часть уравнения (20) представляет собой сумму двух функций, аи- частные решения уравненийисоответственно, то функцияявляется частным решением данного уравнения.

3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами т.е. уравнение

(24)

Где pиg– некоторые числа согласно вышеприведенной теореме.Общее решение этого уравнения представляет собой сумму общего решениясоответствующего однородного уравнения и частного решения у* неоднородного. Частное решение может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.

Однако, для уравнений с постоянными коэффициентами существует более простой способ нахождения у* ,если правая часть уравнения имеет «специальный вид»:

I . илиII.

Cуть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой частиf(x) уравнения (24) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами , затем подставляют его в уравнение (24) и из полученного тождества находят значение коэффициентов.

Вариант 1. Правая часть имеет вид, где- многочлен степениn.

Уравнение (24) запишется в виде (25)

В этом случае частное решение y* ищется в виде. Здесьr– число кратности, как корня характеристического уравнения.

(т.е.r– число, показывающее, сколько разявляется корнем уравнения), а- многочлен степениn, записанный неопределенными коэффициентами

а) Пусть не является корнем характеристического уравненият.е.

. Следовательно,

После подстановки функции y* и ее производных в уравнение (25) и сокращения на, получим :(26)

Слева многочлен степени nс неопределенными коэффициентами, справа – многочлен степениn, но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему (n+ 1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов.

б) Пусть является однократным (простым) корнем характеристического уравнения

,т.е.. В этом случае искать решение в форме

нельзя , т.к., и уравнение (26)принимает вид

.

В левой части многочлен степени (n-1) , а в правой многочлен степениn.Чтобы получить тождество многочленов в решении у* нужно иметь многочлен тоже степени

(n-1), поэтому частное решение у* следует искать в виде(в частном решении (25) положить (r= 1)).

в) Пусть является двукратным корнем характеристического уравнения, т.е.. В этом случае, а поэтому уравнение (26) принимает вид. Слева стоит многочлен степениn-2. Понятно, что чтобы иметь слева многочлен степениn,частное решение у* следует искать в виде

( т.е. в частном решении уравнения (25) надо положитьr=2).

Вариант 2. Правая часть уравнения (24) имеет вид

, где- многочлены степениnиmсоответственно,- действительные числа. Уравнение (24) запишется в виде(27)

Можно показать, что в этом случае частное решение у* последнего уравнения следует искать в виде

(28) , где

r– число , равное кратности, как корня характеристического уравнения,- многочлены степенис неопределенными коэффициентами,- наивысшая степень многочленов,т.е.

=max(n,m).

Примечания:

1. При подстановке функции (28) в (27) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения .

2. Формула (28) сохраняется и в случаях, когда .

3. Если правая часть уравнения (24) есть сумма вида I илиII то для нахождения у* следует использовать теорему о наложении решений.

Пример:

Найдем общее решение ЛОДУ, его характеристическое уравнение

имеет коренькратности 2. Значит. Находим частное решение исходного уравнения .В нем правая частьесть формула вида

, причемне является корнем характеристического уравнения. Поэтому , частное решение ищем как частное решение уравнения (25) в виде,т.е., гдеAиB– неопределенные коэффициенты .Тогда. Подставивв исходное уравнение получим, или. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхполучаем систему уравнений, отсюда А=1,В=-2.

Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид . Следовательно,

- искомое общее решение уравнения.