1.Решение путем понижения порядка уравнения.

Суть этого метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению порядок которого ниже.

Рассмотрим три вида уравнений решенных таким способом.

1)

Порядок этого уравнения можно легко понизить введя такую, что, тогдаи после подстановки получим,

решив его, найдем и тогда решаяполучим общее решение первоначального уравнения.

На практике можно понизить порядок путем последовательного интегрирования уравнения. Т.к. , то наше уравнение можно записать в виде, тогда интегрируя уравнениеполучимили

Интегрируя последнее уравнение по х найдем

т.е. - общее решение данного уравнения.

Если дано уравнение ,то проинтегрировав его последовательноnраз ,найдем общее решение уравнения:

Пример:

- общее решение.

2) .

Обозначим ,где- новая неизвестная функция. Тогдаи наше уравнение примет вид:. Пусть- общее решение полученного уравнения. Тогда заменяя Р наполучаем. Это уравнение можно интегрировать . Частным случаем рассмотренного уравнения является. Оно интегрируется тем же способом :. Получаемс разделяющимися переменными.

Если задано уравнение вида б то его порядок можно понизить наkединиц положив.Тогдаи уравнение примет вид

Частным случаем последнего уравнения служит или. С помощью заменыэто уравнение сводится к ДУ первого порядка.

Пример: Полагаяполучим- уравнение с разделяющимися переменнымиинтегрируя получим, возвращаясь к исходной переменной

3) Уравнение вида .

Для понижения порядка этого уравнения введем функцию зависящую от переменной,полагая. Дифференцируя это равенство пос учетом, чтополучим, т.е.

тогда после подстановки получим . Пустьявляется общим решением этого уравнения. Заменяя функциюнаполучаем- ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его найдем общий интеграл нашего уравнения.. Частным случаем ДУ является уравнение.Это уравнение решается при помощи аналогичной подстановкии.

Точно также решается уравнение , его порядок понижается на единицу заменойпо правилу дифференцирования сложной функции.

и т.д.

2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Уравнение вида где-

заданные функции (от) называютлинейным ДУ n-го порядка .

Оно содержит искомую функцию и все ее производные лишь в первой степени. Функцииназываются коэффициентами уравнения, а- его свободным членом .Еслито уравнение называетсяоднородным линейным дифференциальным уравнением. Если, то уравнение называетсянеоднородным.

Разделив уравнение на и обозначив

можно записать уравнение в виде приведенного уравнения

(10)

В дальнейшем будем рассматривать уравнения типа (10) считая, что свободный член и коэффициенты являются непрерывными функциями ( на некотором интервале .

1. Линейные однородные ДУ второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго

порядка (11)

Теорема 3 Если функциииявляются частными решениями уравнения (11) , то решением этого уравнения является также функция, гдеипроизвольные постоянные.

Из теоремы вытекает, что если и- решения уравнения (11),то решениями этого уравнения будут также функциии. Решение содержит две постоянные величиныи.Возникает вопрос : будет ли это решение общим решением уравнения (11)? Для ответа на этот вопрос необходимо ввести понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.

Функции иназываются линейно независимыми на интервалеесли равенство

(12)

выполняется тогда и только тогда , когда .Если хотя бы одно из чиселили отличны от нуля и равенство (12) выполняется ,то функциииназываютсялинейно зависимымина.Очевидно, что функцииилинейно зависимы, тогда и только тогда когда они пропорциональны т.е. для всехвыполняется равенствоили, где.

Например, функции илинейно зависимы, т.к.аилинейно независимы т.к..

Оказывается, что совокупность любых двух линейно независимых на интервале частных решенийиЛОДУ второго порядка определяетфундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация.

Теперь можно сформулировать при каких условиях только что приведенная комбинация будет общим решением уравнения (11).

Теорема 4 ( Структура общего решения ЛОДУ второго порядка)

Если два частных решения иЛОДУ (11) образуют на интервалефундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция(12)

где - произвольныеconst.

Согласно теореме 3 функция (12) является решением уравнения (11).Поэтому остается доказать, что это решение общее, т.е. что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

где .

Это легко можно доказать, но мы этого делать не будем.

2. Линейные однородные ДУ n- го порядка.

Полученные выше результаты можно распространить на линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка, имеющие вид

(13)

1. Если функция является частным решением уравнения (13), то его решением является и функция.

2. Функции называются линейно независимыми на, если равенствовыполняется лишь в случае, когда все числа, в противном случае (если хотя бы одно из чиселне равно нулю) функции-

линейно зависимы.

3. Частные решения уравнения (13) образуютфундаментальную систему решений на, если они линейно независимые решения в этом промежутке.

3. Общее решение ЛОДУ(13) имеет вид , где- произвольные постоянные,- частные решения уравнения (13), образующие фундаментальную систему.