5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница

Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующимися. Такими рядами называется ряд вида: , гдедля всех. Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (Признак Лейбница).

Теорема Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если:

1. последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.

2. общий член ряда стремится к нулю. При этом суммаряда удовлетворяет неравенствам.

Доказательство:

Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа членов ряда. Имеем. Выражения в каждой скобке согласно первому условию теоремы положительно. Следовательно, суммаи возрастает с возрастанием номера.

С другой стороны , можно переписать так:. Легко увидеть, что. Таким образом, последовательностьвозрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел, причем.

Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа членов ряда. Очевидно, что. Отсюда следует, что. Т.к.в силу второго условия теоремы. Итак,как при четном, так и при нечетном. Следовательно, наш ряд сходится, причем.

Замечания.

1. Исследование знакочередующихся рядов вида (с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (-1) к исследованию ряда с + первым членом.

2. Соотношение позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя суммуданного ряда его частичной суммой. Отброшенный ряд представляет собой также знакочередующийся ряд, сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е.поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

Пример.

Вычислить сумму ряда . Данный ряд лейбницевского вида. Он сходится. Можно записать. Взяв 5 членов, т.е. заменивнасделаем ошибку, меньшую чем. Итак,.

Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечных множеств отрицательных членов, называетсязнакопеременным. Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд . Если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Доказательство:

Рассмотри вспомогательный ряд, составленный из членов рядов и.

.

Очевидно, что для всех, но рядсходится в силу условий теоремы исвойства 1 числовых рядов. Следовательно, на основании признака сравнения сходится и ряд . Поскольку данный знакопеременный ряд представляет собой разность двух сходящихся рядов, то на основаниисвойства 2 числовых рядов ряд сходится.

Отметим, что обратное утверждение несправедливо: если сходится ряд , то это не означает, что сходится ряд.

Пример.

Исследовать сходимость ряда . Для этого ряда выполнены условия признака Лейбница. Следовательно, ряд сходится. Однако ряд, составленный из модулей членов этого ряда, т.е.расходится (гармонический ряд).

5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов

Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится. Знакопеременный ряд называют условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм (переместительность, сочетательность, распределительность).

Т.е. абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависят от порядка записи членов. В случае условно сходящихся рядов, такие свойства, вообще говоря, не имеют места.