- •Міністерство фінансів України
- •Передмова
- •1. Програма навчальної дисципліни опис навчальної дисципліни «математика для економістів»
- •Інструментальні:
- •Міжособистісні:
- •Системні:
- •Спеціальні:
- •Тематичний план навчальної дисципліни
- •Зміст навчальної дисципліни
- •Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці
- •Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння
- •Змістовий модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи математичної економіки
- •Тема 14. Ряди та їх застосування
- •Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки
- •3. Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •Тема 1. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей
- •План вивчення теми
- •Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •1. Випадкові події
- •2. Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій
- •3.Операції над подіями
- •Питання для самоконтролю
- •2. Елементи комбінаторики
- •3. Геометрична ймовірність
- •4. Статистична ймовірність
- •5. Умовна ймовірність
- •5.1. Залежні та незалежні випадкові події
- •5.2. Обчислення умовної ймовірності
- •Література
- •3. Локальна теорема
- •4. Інтегральна теорема
- •5. Використання інтегральної теореми
- •6. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій
- •7. Проста течія подій
- •Питання для самоконтролю
- •Функція розподілу ймовірностей
- •Щільність ймовірностей (диференціальна функція) її властивості
- •Питання для самоконтролю
- •Література
- •1.2. Мода та медіана випадкової величини
- •1.3. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
- •1.4. Початкові та центральні моменти
- •7. Розподіл («хі-квадрат»)
- •8. Розподіл Стьюдента
- •2. Коефіцієнт кореляції
- •2. Закон розподілу та числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу
- •2. Марковські випадкові процеси. Ланцюги Маркова
- •3. Процес народження і загибелі
- •4. Елементи теорії масового обслуговування
- •Питання для самоконтролю
- •2. Генеральна та вибіркова сукупності
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •2. Похибки перевірки гіпотез
- •3. Критерії узгодження для перевірки гіпотез
- •4. Критична область
- •Питання для самоконтролю
- •2. Визначення параметрів ,
- •3. Властивості ,
- •4. Множинна регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Література
- •5. Методичні рекомендації до виконання індивідуальних завдань
- •Методичні вказівки до виконання завдань
- •Приклади розв’язків задач для індивідуальної роботи
- •Завдання для індивідуальної роботи
- •6. Підсумковий контроль
- •7. Критерії оцінки знань та вмінь студентів
- •Самостійна робота студентів
- •Практичні заняття
- •Модульний контроль
- •Індивідуальна робота
- •8. Список рекомендовоної літератури Обов’язкова література
- •Додаткова література
- •Математика для економістів
Приклади розв’язків задач для індивідуальної роботи
Завдання № 1
Випадкові події А1, А2, А3, А4 є попарно несумісними і утворюють повну групу. Знайти Р(А1), Р(А2), Р(А3), Р(А4), коли відомо, що Р(А1)=0,2Р(А2), Р(А2)=0,8Р(А3), Р(А3)=0,5Р(А4).
Розв’язання. Оскільки випадкові події А1, А2, А3, А4 є попарно несумісними і утворюють повну групу, то згідно з дістанемо:
=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)+Р(А4)=1
За умовою задачі знаходимо:
Р(А2)=0,8Р(А3)=0,8·0,5Р(А4)=0,4Р(А4);
Р(А1)=0,2Р(А2)=0,2·0,4Р(А4)=0,08Р(А4);
Отже, 0,08Р(А4)+0,4Р(А4)+0,5Р(А4)+Р(А4)=1;
Р(А4)=1/(0,08+0,4+0,5+1)=1/1,98=100/198;
Р(А3)=0,5Р(А4)=(0,5·100)/198=50/198;
Р(А2)=0,4Р(А4)=(0,4·100)/198=40/198;
Р(А1)=0,08Р(А4)=(0,08·100)/198=8/198.
Завдання № 2
З урни, яка містить три білих та сім чорних куль беруть навмання послідовно дві кулі. Відомо, що перша куля біла (подія В). Яка ймовірність того, що друга куля також виявиться білою?
Розв’язання. Після здійснення першого випробування в урні залишилося дві білі та сім чорних куль. Шукана ймовірність, на підставі класичного означення ймовірності, дорівнює: P(A/B)=.
Для знаходження P(A/B) скористаємося означенням умовної ймовірності. Ймовірність появи білої кулі при першому випробуванні P(B)=
Знайдемо ймовірність того, що при першому й другому випробуванні з’явилися білі кулі.
Знайдемо загальну кількість елементарних подій:
Знайдемо кількість елементарних подій у яких складається подія
Тому =
Отже P(A/B) =
Завдання № 3
Перша фабрика виробила 3000 приладів, друга - 10000, третя - 1000 приладів. Перша фабрика випускає в середньому 1% бракованих приладів, друга - 05%, третя - 1,5%. Прилад вибраний навмання, виявився бракованим. Яка ймовірність того, що цей прилад виробила друга фабрика?
Розв’язання. Нехай подія В полягає у тому, що вибраний прилад бракований, подія Ні - у тому, що прилад вироблено на іншій фабриці, і=1, 2, 3. За умовою задачі потрібно знайти P(H2/B). Події Ні (і=1, 2, 3) попарно незалежні. Вони утворюють повну групу подій.
За формулою Байєса:
Завдання №4
Поданий закон розподілу випадкової величини.
Знайти її:
1) математичне сподівання;
2) дисперсію;
3) середнє квадратичне відхилення;
X |
2 |
4 |
7 |
9 |
P |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
0,2 |
Розв’язання. M(Х) = 2∙0,1+4∙0,3+7∙0,4+9∙0,2=0,2+1,2+2,8+1,8=6;
D(X2) = M(X2) - [M(X)]2;
M(X2) = 4∙0,1 + 16∙0,3 + 49∙0,4+81∙0,2 = 0,4 + 4,8 + 19,6 + 16,2 = 41;
D(X)= =
Завдання №5
Неперервна випадкова величина X подана інтегральною функцією розподілу
а=1; b =8; c=3; d=7.
.
Знайти:
Диференціальну функцію f(x);
Побудувати графіки функцій F(x) і f(x);
Математичне сподівання Х;
Ймовірність того, що Х прийме значення, належне до інтервалу (с, d).
Розв’язання. Знайдемо:
Диференціальну функцію f(x):
3. Математичне сподівання Х;
Ймовірність того, що Х набуде значення з інтервалу (с, d).
Завдання №6
Задано щільність ймовірностей:
Обчислити А, ,. ЗнайтиМо.
Розв’язання. ;
.
.
.
.
Функція набуває максимального значення для. Отже,Мо=.
Завдання №7
Випадкова величина Х має нормальний закон розподілу з параметрами а=10, . Знайти симетричний відносноМ(Х) інтервал, що містить виміряне значення з ймовірністю р=0,5.
Розв’язання. .
Отже, , Тоді.
За таблицею для функції дістанемо:, тоді.
Відповідь: (10-; 10+)=(6,6; 13,4).
Завдання №8
Ймовірність появи випадкової події в кожній із 400 незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює 0,9. Використовуючи нерівність Чебишова, оцінити ймовірність події |Х – М(Х)| <ε, якщо ε=10.
Розв’язання. За умовою задачі маємо: n=400, p=0,9; q=0,1; ε=10.
М(Х)=n·p=400·0,9=360; D(X)=n·p·q=360·0,1=36.
P(|x –360|<10)≥1 –36/100=0,64.
Завдання №9
За поданими даними: 21, 20, 18, 14, 20, 16, 22, 22, 21, 20, 18, 14, 26, 18, 20, 16, 22, 28, 18, 24, 22, 18, 22, 20:
Скласти варіаційний ряд розподілу.
Побудувати:
полігон частот;
гістограму частот;
емпіричну функцію розподілу.
Розв’язання.
І. Варіаційний ряд розподілу.
xi |
14 |
16 |
18 |
20 |
21 |
22 |
24 |
26 |
28 |
ni |
2 |
2 |
6 |
5 |
2 |
5 |
1 |
1 |
1 |
II а. Полігон частот.
II б. Гістограма частот.
-
h = 3,5
ni
Щільність частот
14 - 17,5
4
4 / 3,5 / 25 = 0,046
17,5 - 21
13
13 / 3,5 / 25 = 0,149
21 - 24,5
6
6 / 3,5 / 25 = 0,069
24,5 - 28
2
2 / 3,5 / 25 = 0,023
Гістограма
ІІ в. Емпірична функція розподілу.
Емпірична
функція
Завдання №10
Вимірявши 40 випадково відібраних після виготовлення деталей, знайшли вибіркову середню, що дорівнює 15 см. Із надійністю γ=0,99 побудувати довічний інтервал для середньої величини всієї партії деталей, якщо генеральна дисперсія дорівнює 0,09 см2.
Розв’язання. Для побудови довірчого інтервалу необхідно знати: , σг,
З умови задачі маємо: хв=15 см, σг==см2 =0,3, n=40→==6,32. Величина х обчислюється з рівняння
Ф(х)=0,5γ=0,5·0,99=0,495.
Ф(х)=0,495→х= 2,58 [за таблицею значень функції Лапласа].
Знайдемо числові значення довірчого інтервалу:
–(σг ·х)/= 15–(0,3∙2,58)/6,32=15–0,12=14,88 см.
+(σг·х)/=15+(0,3∙2,58)/6,32=15+0,12=15,12 см.
Таким чином, маємо: 14,88 <<15,12.
Завдання №11
Оцінки в балах , одержані абітурієнтами на вступних іспитах з математики, наведені у вигляді дискретного розподілу:
|
15 |
25 |
35 |
45 |
55 |
65 |
75 |
85 |
|
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
15 |
8 |
2 |
Обчислити .
Розв’язання. ,,
,.
,.
Завдання №12
Залежність кількості масла , що його споживає певна особа за місяць, від її прибутку в гривнях, наведена в таблиці:
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
, грн. |
10,5 |
15,8 |
17,8 |
19,5 |
20,4 |
21,5 |
22,2 |
24,3 |
25,3 |
26,5 |
, грн. |
70 |
75 |
82 |
89 |
95 |
100 |
105 |
110 |
115 |
|
i |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
, грн. |
28,1 |
30,1 |
35,2 |
36,4 |
37 |
38,5 |
39,5 |
40,5 |
41 |
42,5 |
, грн. |
125 |
130 |
135 |
140 |
145 |
150 |
155 |
160 |
165 |
170 |
Потрібно обчислити ,.
Розв’язання. Оскільки обсяг вибірки , то маємо:
,
, ,
,,
,,
, .
Оскільки значення близьке до одиниці, то звідси випливає, що залежність між кількістю масла, споживаного певною особою, та її місячним прибутком майже функціональна.
Завдання №13
Розбіжність вимірів діаметрів кульок є випадковою величиною, що має нормальний закон розподілу. При рівні значущостіперевірити правильність
мм, якщо альтернативна гіпотеза
мм,
коли відомо що мм і вибіркове середнє значення виміряних у 100 однотипних кульокмм.
Розв’язання. Оскільки мм, будується правобічна критична область. Для знаходження критичної точки застосуємо вираз:
.
Скористувавшись таблицею для функції Лапласа знаходимо . Обчислимо спостережуване значення критерію за формулою
.
Висновок. Оскільки , то немає підстав для відхилення нульової гіпотезимм. Отже, нульова гіпотеза приймається.