- •Міністерство фінансів України
- •Передмова
- •1. Програма навчальної дисципліни опис навчальної дисципліни «математика для економістів»
- •Інструментальні:
- •Міжособистісні:
- •Системні:
- •Спеціальні:
- •Тематичний план навчальної дисципліни
- •Зміст навчальної дисципліни
- •Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці
- •Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння
- •Змістовий модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи математичної економіки
- •Тема 14. Ряди та їх застосування
- •Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки
- •3. Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •Тема 1. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей
- •План вивчення теми
- •Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •1. Випадкові події
- •2. Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій
- •3.Операції над подіями
- •Питання для самоконтролю
- •2. Елементи комбінаторики
- •3. Геометрична ймовірність
- •4. Статистична ймовірність
- •5. Умовна ймовірність
- •5.1. Залежні та незалежні випадкові події
- •5.2. Обчислення умовної ймовірності
- •Література
- •3. Локальна теорема
- •4. Інтегральна теорема
- •5. Використання інтегральної теореми
- •6. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій
- •7. Проста течія подій
- •Питання для самоконтролю
- •Функція розподілу ймовірностей
- •Щільність ймовірностей (диференціальна функція) її властивості
- •Питання для самоконтролю
- •Література
- •1.2. Мода та медіана випадкової величини
- •1.3. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
- •1.4. Початкові та центральні моменти
- •7. Розподіл («хі-квадрат»)
- •8. Розподіл Стьюдента
- •2. Коефіцієнт кореляції
- •2. Закон розподілу та числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу
- •2. Марковські випадкові процеси. Ланцюги Маркова
- •3. Процес народження і загибелі
- •4. Елементи теорії масового обслуговування
- •Питання для самоконтролю
- •2. Генеральна та вибіркова сукупності
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •2. Похибки перевірки гіпотез
- •3. Критерії узгодження для перевірки гіпотез
- •4. Критична область
- •Питання для самоконтролю
- •2. Визначення параметрів ,
- •3. Властивості ,
- •4. Множинна регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Література
- •5. Методичні рекомендації до виконання індивідуальних завдань
- •Методичні вказівки до виконання завдань
- •Приклади розв’язків задач для індивідуальної роботи
- •Завдання для індивідуальної роботи
- •6. Підсумковий контроль
- •7. Критерії оцінки знань та вмінь студентів
- •Самостійна робота студентів
- •Практичні заняття
- •Модульний контроль
- •Індивідуальна робота
- •8. Список рекомендовоної літератури Обов’язкова література
- •Додаткова література
- •Математика для економістів
Література
Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].
Практичне заняття №8
Тема 6. Багатовимірні випадкові величини
Мета заняття: Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички розрахунку числових характеристик, використання функції розподілу ймовірностей багатовимірних випадкових величин в ході розв’язання практичних задач.
Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.
План заняття
Основні теоретичні відомості з теми заняття.
Розв’язування задач.
Підведення підсумків заняття.
Методичні рекомендації
Сукупність n одночасно розглядаємих випадкових величин (X1, X2,…, Xn) називають системою випадкових величин. Законом розподілу двох дискретних випадкових величин називають перелік можливих значень ,та відповідних їм ймовірностей спільної появи.
Під час вивчення системи двох і більше випадкових величин доводиться з’ясовувати наявність зв’язку між цими величинами та його характер. Для цього застосовують кореляційний момент:
.
У разі кореляційний зв’язок відсутній.
Тісноту кореляційного зв’язку характеризує коефіцієнт кореляції:
.
Функцією розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин називають таку функцію двох аргументів, яка визначає ймовірність спільної появи подій:
.
Щільністю ймовірностей системи двох випадкових величин називається друга похідна від функції :
.
Функція розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин визначається з рівняння:
.
Задачі для розв’язання
1. Закон розподілу системи двох випадкових величин Х і Y має вигляд:
X Y |
5,2 |
10,2 |
15,2 |
2,4 |
0,1а |
2а |
0,9а |
4,4 |
2а |
0,2а |
1,8а |
6,4 |
1,9а |
0,8а |
0,3а |
Записати закон розподілу для випадкових величини Х і Y. Обчислити а, M(X), D(X), (X), M(Y), D(Y), ( Y ), КXY, rXY, Р(2,5<X≤15,2; 2,4≤Y<6,4).
2. Ймовірність того, що при перевірці деталь виявиться стандартною, дорівнює 0,8. Перевірці підлягають 3 деталі. Побудувати закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин Х – появи числа бракованих деталей і Y – появи числа стандартних деталей.
3. Ймовірність появи випадкової події в кожному з чотирьох незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює 0,9. розглядаються дві випадкові величини: Х – число появи випадкової події в результаті цих експериментів; Y – число експериментів, при яких подія не наставала. Обчислити M(X), M(Y).
4. Знайти ймовірність влучення точки в область D={a<X<b, Y<c}.
5. Обчислити ймовірність влучення точки в довільний прямокутник {a<X<b, c<Y<d}.
6. Задано двовимірний закон розподілу:
Y Х |
10 |
20 |
30 |
-6 |
0,02 |
0,05 |
0,03 |
-4 |
0,08 |
0,15 |
0,07 |
-2 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
Обчислити M(X/ Y=-4), (X/Y=-4), M(Y/Х=30), (Y/Х=30).
7. Закон розподілу системи двох неперервних випадкових величин задано функцією розподілу ймовірностей:
Обчислити Р(0<X<4; 0<Y<2).
8. Задано f(x, y)=1/48, якщо (X, Y) ∈ D; f(x, y)=0, якщо (X, Y) ∉ D, де D={0≤ х ≤ π/2, 0 ≤ у ≤ π/2}. Знайти КXY, rXY.
9. Брак продукції заводу внаслідок дефекту А становить 3%, а внаслідок дефекту В – 4,5%.Стандартна продукція становить 95%. Знайти кореляційний момент і коефіцієнт кореляції між дефектами А і В.
10. Система випадкових величин має щільність
, де D={0≤ х ≤ π/2, 0 ≤ у ≤ π/2}.
Знайти коефіцієнт а, M(X), M(Y).
Т е с т и
Варіант №1
1.Умовою нормування для неперервних випадкових величин є:
а) ; б); в); г).
2. В яких межах лежить коефіцієнт кореляції?
а) від 0 до 1; б) від - до ; в) від - до ; г) від –1 до 1.
3. Закон розподілу системи двох випадкових величин Х і Y має вигляд:
Y Х |
0 |
1 |
0 |
0,2 |
0,15 |
1 |
0,15 |
0,15 |
2 |
0,1 |
0,25 |
Знайти D(Y).
а) 0,2; б) 1; в) –1; г) 0,7.
4. Задано двовимірний закон розподілу:
Y X |
1 |
2 |
3 |
-1 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0 |
0,15 |
0,15 |
0,1 |
Обчислити М(X /Y =-1).
а) 13/6; б) 12/6; в) 2/3 г) 0.
5. По мішені проводиться один постріл. Ймовірність влучення дорівнює p. Розглядається Х – кількість влучень, Y – кількість промахів. Побудувати розподіл ймовірностей системи випадкових величин (Х, Y).
Варіант №2
1. Яке з наведених тверджень невірне?
а) 0F(x)1; б) якщо rxy=0, то Х і Y незалежні; в)rxy1; г) всі вірні.
2. Якщо Кxy=0, то чому дорівнює rxy?
а) -2; б) ; в) 1; г) 0.
3. Закон розподілу системи двох випадкових величин Х і Y має вигляд:
Y X |
0 |
1 |
0 |
0,2 |
0,15 |
1 |
0,15 |
0,15 |
2 |
0,1 |
0,25 |
Знайти М( Х ) і М(Y).
а) М( Х )=1,2 М(Y)=4,3; б) М( Х )=2,6 М(Y)=0,4;
в) М( Х )=0,55 М(Y)=1; г) М( Х )=1 М(Y)=1.
4. Задано двовимірний закон розподілу:
Y X |
1 |
2 |
3 |
-1 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0 |
0,15 |
0,15 |
0,1 |
Обчислити D(Y/X =3).
а) 3/6; б) 3/16; в) 2/4 г) 9/4.
5. Ймовірність того, що при перевірці деталь виявиться стандартною, дорівнює 0,7. Перевірці підлягають 2 деталі. Побудувати закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин Х – появи числа бракованих деталей і Y – появи числа стандартних деталей.