Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

Практичне заняття №11

Тема 9. Елементи теорії випадкових процесів і теорії масового обслуговування

Мета заняття: Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички використання елементів теорії випадкових процесів, масового обслуговування в ході розв’язання практичних задач.

Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.

План заняття

1. Основні теоретичні відомості з теми заняття.

2. Розв’язування задач.

3. Підведення підсумків заняття.

Методичні рекомендації

Математичною моделлю випадкового процесу є певна функція від дійсного аргументу, значення якої при кожному фіксованомує випадковою величиною. Саме поняття випадкового процесу (випадкової функції) є узагальнюючим поняттям випадкової величини.

Отже, випадковим процесом називають такий процес, коли при будь-якому можливому значенні випадкова функціяутворює випадкову величину.

При ми дістанемо випадкову величину, яку називають перерізом випадкового процесу.

Випадковий процес X(t) називають марковським, якщо за будь-якого можливого значення часу t = t₁ значення випадкової величини x(t₁) не залежить від того, яких значень ця величина набувала для t < t₁ , тобто процес у момент часу t = t₁ не залежить від його поведінки в більш ранні моменти часу t < t₁.

Нехай X(t) – однорідний марковський процес із обмеженим , або зліченим, числом можливих станів i =0,1,2,3,…,n,…

Якщо аргумент t набуває лише значення 0,1,2,3,…n, то в цьому разі матимемо послідовність переходів

Такий процес послідовностей переходів називають ланцюгом Маркова.

Процес переходу системи S утворює ланцюг Маркова, якщо ймовірність перейти в стан А_j в момент часу залежить лише від того, в якому стані система перебувала в момент часу, і не залежить від стану системи в більш ранішні моменти часу.

Імовірність переходу зі стану в станв момент часупозначають через

Повна ймовірна картина всіх можливих переходів систем із одного стану в інший за умови, що число всіх станів дорівнює , безпосередньо описується матрицею ймовірностей переходу

Якщо не залежить від часу, то ланцюг Маркова називають однорідним і тодіДля кожного рядка матриць виконується рівність:

Матрицю називаютьn –кроковою матрицею переходу з одного стану в інший.

Математичною моделлю для найпростішої системи масового обслуговування з одним пуассонівським потоком і одним каналом обслуговування (одноканальний прилад), час якого має експоненціальний закон розподілу ймовірностей, є система рівнянь

Тут і - інтенсивності відповідно народження і загибелі одиниць популяції. Дана математична модель застосовується в елементарній теорії масового обслуговування.

Задачі для розв’язання

1. За заданою матрицею ймовірностей переходу деякої системи

побудувати орієнтований імовірний граф.

2. Фірма купила новий станок, який може перебувати в одному з трьох несумісних станів: ₁ – станок працює добре (не потребує жодних витрат); ₂ – може бути використаний у роботі, але потребує дрібного ремонту; ₃ – перебуває в нероботоздатному стані.

Матриця ймовірностей переходу станка з одного стану в інший за 1 крок (1 місяць) має такий вигляд:

.

Задана матриця вартостей

.

Оцінити ефективність роботи станка за три робочих місяці. Елементи r_ij матриці вартостей вимірюються в грн. При цьому .

Т е с т и

Фірма купила новий станок, який може перебувати в одному з трьох несумісних станів: ₁ – станок працює добре (не потребує жодних витрат); ₂ – може бути використаний у роботі, але потребує дрібного ремонту; ₃ – перебуває в нероботоздатному стані.

Матриця ймовірностей переходу станка з одного стану в інший за 1 крок (1 місяць) має такий вигляд:

.

Варіант №1

Задана матриця вартостей .

Елементи r_ij матриці вартостей вимірюються в грн. При цьому .

1) Знайти вектор : а); б); в); г).

2) Знайти вектор сумарних витрат :

а) ; б); в); г).

Варіант №2

Задана матриця вартостей .

Елементи r_ij матриці вартостей вимірюються в у.од.. При цьому .

1) Знайти вектор : а); б); в); г).

2) Знайти вектор сумарних витрат :

а) ; б); в); г).