- •Міністерство фінансів України
- •Передмова
- •1. Програма навчальної дисципліни опис навчальної дисципліни «математика для економістів»
- •Інструментальні:
- •Міжособистісні:
- •Системні:
- •Спеціальні:
- •Тематичний план навчальної дисципліни
- •Зміст навчальної дисципліни
- •Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці
- •Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння
- •Змістовий модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи математичної економіки
- •Тема 14. Ряди та їх застосування
- •Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки
- •3. Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •Тема 1. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей
- •План вивчення теми
- •Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •1. Випадкові події
- •2. Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій
- •3.Операції над подіями
- •Питання для самоконтролю
- •2. Елементи комбінаторики
- •3. Геометрична ймовірність
- •4. Статистична ймовірність
- •5. Умовна ймовірність
- •5.1. Залежні та незалежні випадкові події
- •5.2. Обчислення умовної ймовірності
- •Література
- •3. Локальна теорема
- •4. Інтегральна теорема
- •5. Використання інтегральної теореми
- •6. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій
- •7. Проста течія подій
- •Питання для самоконтролю
- •Функція розподілу ймовірностей
- •Щільність ймовірностей (диференціальна функція) її властивості
- •Питання для самоконтролю
- •Література
- •1.2. Мода та медіана випадкової величини
- •1.3. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
- •1.4. Початкові та центральні моменти
- •7. Розподіл («хі-квадрат»)
- •8. Розподіл Стьюдента
- •2. Коефіцієнт кореляції
- •2. Закон розподілу та числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу
- •2. Марковські випадкові процеси. Ланцюги Маркова
- •3. Процес народження і загибелі
- •4. Елементи теорії масового обслуговування
- •Питання для самоконтролю
- •2. Генеральна та вибіркова сукупності
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •2. Похибки перевірки гіпотез
- •3. Критерії узгодження для перевірки гіпотез
- •4. Критична область
- •Питання для самоконтролю
- •2. Визначення параметрів ,
- •3. Властивості ,
- •4. Множинна регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Література
- •5. Методичні рекомендації до виконання індивідуальних завдань
- •Методичні вказівки до виконання завдань
- •Приклади розв’язків задач для індивідуальної роботи
- •Завдання для індивідуальної роботи
- •6. Підсумковий контроль
- •7. Критерії оцінки знань та вмінь студентів
- •Самостійна робота студентів
- •Практичні заняття
- •Модульний контроль
- •Індивідуальна робота
- •8. Список рекомендовоної літератури Обов’язкова література
- •Додаткова література
- •Математика для економістів
Література
Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].
Практичне заняття №12
Тема заняття. Модульний контроль.
Мета заняття: перевірити та оцінити теоретичні знання і практичні навички в ході розв’язання задач за темами практичних занять №1-11.
Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.
Змістовий модуль 2. Математична статистика
Практичне заняття №13
Тема 10. Первинне опрацювання статистичних даних
Мета заняття: Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички використання статистичного розподілу вибірок, їх числових характеристик в ході розв’язання практичних задач.
Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори;
План заняття
Основні теоретичні відомості з теми заняття.
Розв’язування задач.
Підведення підсумків заняття.
Методичні рекомендації
Вибірковою сукупністю (вибіркою) називають сукупність випадково взятих однорідних об'єктів.
Генеральна сукупність – сукупність об'єктів, з яких зроблено вибірку.
Кількісні ознаки елементів генеральної сукупності можуть бути одновимірними і багатовимірними, дискретними і неперервними. Коли реалізується вибірка, кількісна ознака, наприклад Х, набуває конкретних числових значень (Х=хі), які називають варіантою. Кожна варіанта вибірки може бути спостереженою ni раз , число ni називають частотою варіанти хі.
Перелік варіант варіаційного ряду і відповідних їм частот, або відносних частот, називають дискретним статистичним розподілом вибірки.
Функція аргументу х, що визначає відносну частоту події Х<х, тобто , називаєтьсяемпіричною, або комулятою.
Тут n – обсяг вибірки;
nх – кількість варіант статистичного розподілу вибірки, значення яких менше за фіксовану варіанту х.
Числові характеристики:
1) вибіркова середня величина ;
2) дисперсія вибірки
або
;
3) мода (). Для визначення моди інтервального статистичного розподілу необхідно знайти модальний інтервал, тобто такий частинний інтервал, що має найбільшу частоту появи.
;
4) медіана (). Для визначення медіани інтервального статистичного розподілу вибірки необхідно знайти медіальний інтервал, тобто такий частинний інтервал [xi-1, xi], на якому виконуються нерівності
F*( xi-1)<0,5 і F*( xi)>0,5.
,
де h= xi – xi-1 називають кроком;
5) кореляційний момент ;
6) коефіцієнт кореляції , .
Задачі для розв’язання
1. При вивчені випадкової величини Х дістали вибірку:
11, 10, 8, 4, 10, 6, 12, 12, 11, 10, 8, 4, 16, 8, 10, 6, 12, 18, 8, 14, 12, 8, 12, 10, 8, 8, 10, 6, 12, 18, 8, 14, 12, 8, 12, 10, 8.
Потрібно:
побудувати дискретний статистичний розподіл вибірки;
побудувати полігон частот;
побудувати емпіричну функцію розподілу;
обчислити , ,;
знайти ,.
2. За даним інтервальним статистичним розподілом вибірки:
h=4 |
0 – 4 |
4 – 8 |
8 – 12 |
12 – 16 |
16 – 20 |
20 – 24 |
ni |
6 |
14 |
20 |
25 |
30 |
5 |
Потрібно:
побудувати гістограму частот;
побудувати емпіричну функцію розподілу;
обчислити , ,;
знайти ,.
3. Залежність доходу підприємства , від рентабельності, наведені в таблиці:
yi |
10 |
15 |
17 |
19 |
20 |
21 |
23 |
24 |
25 |
26 |
xi |
60 |
65 |
68 |
71 |
75 |
77 |
79 |
84 |
86 |
88 |
Потрібно обчислити ,.
Т е с т и
Варіант №1
1. Варіанту, що має найбільшу частоту появи називають:
а) вибірковою середньою; б) дисперсією; в) модою; г) медіаною.
2. Знайти емпіричну функцію розподілу за статистичним розподілом вибірки:
xk |
4 |
7 |
8 |
nk |
5 |
2 |
3 |
3. Для заданої вибірки із генеральної сукупності
2,2,8,5,4,2,5,4,2,8,8,2,4,8,2,2,8,2,2,2 обчислити ,.
а) =4,1 =2,46; б) =4,1 =2,47;
в) =4,1 =6,09;г) =4,1 =2,3.
Варіант №2
1. Для заданої вибірки із генеральної сукупності 6,9,5,3,6,6,9,3,5,6,9,5,6,6,9,6,9,6,6,6 обчислити ,.
а) =5,1=2,9; б)=6,8=2; в)=6,3=3,21; г)=4,9=3,1.
2. Для вимірювання розсіювання варіант вибірки відносно вибирається: а) М(Х ); б) D( Х ); в) ( Х ); г) .
3. Знайти емпіричну функцію розподілу за даним розподілом вибірки: