- •Міністерство фінансів України
- •Передмова
- •1. Програма навчальної дисципліни опис навчальної дисципліни «математика для економістів»
- •Інструментальні:
- •Міжособистісні:
- •Системні:
- •Спеціальні:
- •Тематичний план навчальної дисципліни
- •Зміст навчальної дисципліни
- •Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці
- •Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння
- •Змістовий модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи математичної економіки
- •Тема 14. Ряди та їх застосування
- •Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки
- •3. Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •Тема 1. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей
- •План вивчення теми
- •Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •1. Випадкові події
- •2. Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій
- •3.Операції над подіями
- •Питання для самоконтролю
- •2. Елементи комбінаторики
- •3. Геометрична ймовірність
- •4. Статистична ймовірність
- •5. Умовна ймовірність
- •5.1. Залежні та незалежні випадкові події
- •5.2. Обчислення умовної ймовірності
- •Література
- •3. Локальна теорема
- •4. Інтегральна теорема
- •5. Використання інтегральної теореми
- •6. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій
- •7. Проста течія подій
- •Питання для самоконтролю
- •Функція розподілу ймовірностей
- •Щільність ймовірностей (диференціальна функція) її властивості
- •Питання для самоконтролю
- •Література
- •1.2. Мода та медіана випадкової величини
- •1.3. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
- •1.4. Початкові та центральні моменти
- •7. Розподіл («хі-квадрат»)
- •8. Розподіл Стьюдента
- •2. Коефіцієнт кореляції
- •2. Закон розподілу та числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу
- •2. Марковські випадкові процеси. Ланцюги Маркова
- •3. Процес народження і загибелі
- •4. Елементи теорії масового обслуговування
- •Питання для самоконтролю
- •2. Генеральна та вибіркова сукупності
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •2. Похибки перевірки гіпотез
- •3. Критерії узгодження для перевірки гіпотез
- •4. Критична область
- •Питання для самоконтролю
- •2. Визначення параметрів ,
- •3. Властивості ,
- •4. Множинна регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Література
- •5. Методичні рекомендації до виконання індивідуальних завдань
- •Методичні вказівки до виконання завдань
- •Приклади розв’язків задач для індивідуальної роботи
- •Завдання для індивідуальної роботи
- •6. Підсумковий контроль
- •7. Критерії оцінки знань та вмінь студентів
- •Самостійна робота студентів
- •Практичні заняття
- •Модульний контроль
- •Індивідуальна робота
- •8. Список рекомендовоної літератури Обов’язкова література
- •Додаткова література
- •Математика для економістів
Література
Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].
Практичне заняття №14
Тема 11. Статистичне та інтервальне оцінювання параметрів розподілу
Мета заняття: Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички виконання статистичних оцінок параметрів розподілу в ході розв’язання практичних задач.
Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.
План заняття
Основні теоретичні відомості з теми заняття.
Розв’язування задач.
Підведення підсумків заняття.
Методичні рекомендації
Точковими оцінками параметрів розподілу генеральної сукупності називають такі оцінки, які визначаються одним числом.
Точковою незміщеною статистичною оцінкою для
-є;
-є виправлена дисперсія, деn – обсяг вибірки.
Величину називають виправленим середнім квадратичним відхилення.
Якщо об'єм вибірки малий, то точкові оцінки можуть давати значні похибки, тому питання точності оцінок у цьому випадку дуже важливе і використовують інтервальні оцінки.
Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами — кінцями інтервалу.
Різниця між статистичною оцінкою та її оцінювальним параметром , взята за абсолютним значенням, називається точністю оцінки, а саме , де є точністю оцінки.
Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки параметра заназивають імовірність
Найчастіше число задається наперед і, залежно від обставин, воно дорівнює 0,95 або 0,99 або 0,999.
Інтервал називаютьдовірчим, якщо він покриває невідомий параметр із заданою надійністю.
Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу дорівнюватиме
-при відомому : ,
де х знаходиться з рівності ,- функція Лапласа;
- при невідомому :,
тут обчислюємо за заданою надійністюі числом степенів вільностіза таблицею ([1] додаток 3).
Задачі для розв’язання
1. 200 однотипних деталей були піддані шліфуванню. Результати вимірювання наведені як дискретний статистичний розподіл:
xi |
3,7 |
3,8 |
3,9 |
4,0 |
4,1 |
4,2 |
4.3 |
4,4 |
ni |
1 |
22 |
40 |
79 |
27 |
26 |
4 |
1 |
Знайти точкові незміщені статистичні оцінки для , .
2. Знайти довірчий інтервал для оцінки з надійністю 0,95 невідомого математичного сподівання а нормально розподіленої ознаки Х генеральної сукупності, якщо генеральне середнє квадратичне відхилення =2, вибіркове середнє=5,4, а обсяг вибіркиn=36.
3. Результати вимірювання хі подані у табл.:
xi |
1,5 |
1,8 |
2,3 |
2,5 |
2,9 |
3,3 |
ni |
2 |
3 |
5 |
8 |
4 |
3 |
З надійністю побудувати довірчий інтервал для.
4. Знайти мінімальний обсяг вибірки, при якому з надійністю 0,95 точність оцінки математичного сподівання а генеральної сукупності по вибірковій середній буде дорівнює , якщо відомо середнє квадратичне відхиленнянормальне розподіленої генеральної сукупності.
5. Якого значення має набувати надійність оцінки , щоб за обсягу вибірки n=100 похибка її не перевищувала 0,01 при =5.
Т е с т и
Варіант №1
1. По вибірці обсягу n = 41 знайдена зміщена оцінка = 3 генеральної дисперсії. Знайти незміщену оцінку дисперсії генеральне сукупності.
а) 3,075; б) 2,93; в) 1,71 г) 1,75.
2. Знайти мінімальний об'єм вибірки, при якому з надійністю γ=0,925 точність оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності буде дорівнювати 0,2. Відомо середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності σ=1,5.
а) n=179; б) n=216; в) n=298; г) n=380.
Варіант №2
1. Результати вимірювання хі подані у табл.:
|
2.5 |
2.8 |
3.3 |
3.5 |
3.9 |
4.3 |
|
1 |
4 |
6 |
7 |
5 |
3 |
З надійністю γ=0,999 побудувати довірчий інтервал для .
2. Знайти довірчий інтервал з надійністю 0,95 для оцінки невідомого математичного сподівання а нормально розподіленої випадкової величини Х, якщо 2=16, =15,n=25.
а) (1,4; 1,5); б) (3,63; 3,77); в) (-14,2; -13,7); г) (13,43; 16,57).