- •Міністерство фінансів України
- •Передмова
- •1. Програма навчальної дисципліни опис навчальної дисципліни «математика для економістів»
- •Інструментальні:
- •Міжособистісні:
- •Системні:
- •Спеціальні:
- •Тематичний план навчальної дисципліни
- •Зміст навчальної дисципліни
- •Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці
- •Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння
- •Змістовий модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи математичної економіки
- •Тема 14. Ряди та їх застосування
- •Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки
- •3. Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •Тема 1. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей
- •План вивчення теми
- •Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •1. Випадкові події
- •2. Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій
- •3.Операції над подіями
- •Питання для самоконтролю
- •2. Елементи комбінаторики
- •3. Геометрична ймовірність
- •4. Статистична ймовірність
- •5. Умовна ймовірність
- •5.1. Залежні та незалежні випадкові події
- •5.2. Обчислення умовної ймовірності
- •Література
- •3. Локальна теорема
- •4. Інтегральна теорема
- •5. Використання інтегральної теореми
- •6. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій
- •7. Проста течія подій
- •Питання для самоконтролю
- •Функція розподілу ймовірностей
- •Щільність ймовірностей (диференціальна функція) її властивості
- •Питання для самоконтролю
- •Література
- •1.2. Мода та медіана випадкової величини
- •1.3. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
- •1.4. Початкові та центральні моменти
- •7. Розподіл («хі-квадрат»)
- •8. Розподіл Стьюдента
- •2. Коефіцієнт кореляції
- •2. Закон розподілу та числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу
- •2. Марковські випадкові процеси. Ланцюги Маркова
- •3. Процес народження і загибелі
- •4. Елементи теорії масового обслуговування
- •Питання для самоконтролю
- •2. Генеральна та вибіркова сукупності
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •2. Похибки перевірки гіпотез
- •3. Критерії узгодження для перевірки гіпотез
- •4. Критична область
- •Питання для самоконтролю
- •2. Визначення параметрів ,
- •3. Властивості ,
- •4. Множинна регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Література
- •5. Методичні рекомендації до виконання індивідуальних завдань
- •Методичні вказівки до виконання завдань
- •Приклади розв’язків задач для індивідуальної роботи
- •Завдання для індивідуальної роботи
- •6. Підсумковий контроль
- •7. Критерії оцінки знань та вмінь студентів
- •Самостійна робота студентів
- •Практичні заняття
- •Модульний контроль
- •Індивідуальна робота
- •8. Список рекомендовоної літератури Обов’язкова література
- •Додаткова література
- •Математика для економістів
Література
Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].
Практичне заняття №10
Тема 8. Граничні теореми теорії ймовірностей
Мета заняття: Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички використання закону великих чисел та граничних теорем в ході розв’язання практичних задач.
Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.
План заняття
Основні теоретичні відомості з теми заняття.
Розв’язування задач.
Підведення підсумків заняття.
Методичні рекомендації
Нерівність Чебишова. Якщо випадкова величина має обмежені математичне сподівання і дисперсію, то для довільногоε>0 має місце нерівність
.
Теорема Чебишова. Нехай задано попарно незалежних випадкових величин(, які задовольняють умовам
1) =ai, 2) D(Xi) ≤C, (C – деяка стала, C>0) ∀ і=1,2,...,n.
Тоді
.
Центральна гранична теорема. Нехай задано незалежних випадкових величин(, кожна із яких має один і той самий закон розподілу ймовірностей із,і при цьому існує за абсолютною величиною початковий момент третього порядку, тоді зі зростанням числазакон розподілунаближається до нормального.
Задачі для розв’язання
1. Дисперсія випадкової величини Х дорівнює 0,001. Яка ймовірність того, що випадкова величина Х відрізняється від її математичного сподівання більше ніж на 0,1?
2. Випадкова величина Х має закон розподілу N(-2;4). Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність , якщоε=4σ.
3. Випадкова величина Х має такий закон розподілу:
Х |
1 |
5 |
Р(Х) |
0,7 |
0,3 |
Використовуючи нерівність Чебишова оцінити ймовірність того, що .
4. Дисперсія кожної із 4500 незалежних випадкових величин, що мають один і той самий закон розподілу ймовірностей, дорівнює 5. Оцінити ймовірність того, що відхилення середнього арифметичного їх математичних сподівань, взяте за абсолютною величиною, не перевищить 0,4.
5. Імовірність виготовити стандартну деталь робітником дорівнює 0,95. Контролю підлягає 400 деталей. Оцінити ймовірність відхилення відносної частоти появи стандартної деталі W(A) від імовірності 0,95 не більше ніж на величину 0,02.
6. Кожна із 100 незалежних випадкових величин має рівномірний закон розподілу на проміжку [0; 0,12]. Записати наближено закон розподілу для випадкової величини .
7. Із якою надійністю середнє арифметичне вимірів певної величини відповідає істинному виміру цієї величини, якщо було здійснено 500 вимірювань із точністю 0,1 і при цьому дисперсії випадкових величин – результатів вимірювання – не перевищують 0,3.
8. Скільки необхідно провести вимірів діаметра втулки, щоб середнє арифметичне цих вимірів відрізнялося від істинного розміру діаметра втулки не більше як 0,05 із надійністю 90%, якщо дисперсії випадкових величин (результатів вимірів) не перевищують 0,2.
9. Випадкова величина – середнє арифметичне 10000 незалежних випадкових величин , що мають один і той самий закон розподілу, і середнє квадратичне відхилення кожної із них дорівнює 2. Яке максимальне відхилення величинивід його математичного сподівання можна очікувати з імовірністю 0,9544?
10. Верстат із програмним управлінням виготовляє за робочу зміну 900 виробів, із яких в середньому 1% складає брак. Знайти наближено ймовірність того, що за зміну буде виготовлено не менше 810 доброякісних виробів, якщо вони виявляються доброякісними незалежно один від одного.
Т е с т и
Варіант №1
1. До яких явищ застосовується закон великих чисел?
а) до явищ з однією випадковою подією;
б) до явищ з великою кількістю випадкових подій;
в) до явищ з малою кількістю випадкових подій;
г) до явищ з двома несумісними подіями.
2. Випадкова величина Х має закон розподілу N(-1;2). Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність |x-a|< ε, якщо ε=4.
а) 0,64; б) 0,987; в) 0,9375 г) 0,945.
3. Яке повинна мати значення величина ε у нерівності Чебишова, щоб , коли відомо, що D(Х )=5.
а) 400; б) 10; в) 5; г) 74.
Варіант №2
1. Які умови мають виконуватись для нерівності Чебишова?
а) випадкова величина Х має обмежене математичне сподівання;
б) випадкова величина Х має обмежену дисперсію;
в) випадкова величина Х має обмежені математичне сподівання і дисперсію;
г) випадкова величина Х має обмежені дисперсію і середнє квадратичне.
2. Яке повинна мати значення величина ε у нерівності Чебишова, щоб, коли відомо, що D(Х )=3.
а) 0,98; б) 5,35; в) 2,9 г) 4.
3. Випадкова величина Х має закон розподілу N(-2;3). Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність |x-a|< ε, якщо ε=5.
а) 0,65; б) 0,96; в) 0,895 г) 0,994.