Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

Практичні заняття №2, 3

Тема 2. Основні теореми теорії ймовірностей, їх економічна інтерпретація

Мета заняття: Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички використання основних формул теорії ймовірностей в ході розв’язання практичних задач.

Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.

План заняття

1. Основні теоретичні відомості з теми заняття.

2. Розв’язування задач.

3. Підведення підсумків заняття.

Методичні рекомендації

Випадкові події А і В називають залежними, якщо поява однієї з них впливає на ймовірність появи іншої. У противному разі випадкові події А і В називаються незалежними.

Ймовірність випадкової події А обчислена за умови, що подія В відбулася, називається умовною. Ця ймовірність знаходиться за формулою

Формули ймовірностей добутку випадкових подій. Імовірність добутку двох випадкових подій А та В дорівнює добутку імовірності однієї з цих подій на умовну імовірність другої події при умові, що перша подія з’явилась:

.

Якщо події А і В є незалежними то, за означенням, . Для незалежних подій маємо:

.

Формули ймовірностей суми випадкових подій. Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без імовірності їх сумісної появи:

.

Імовірність суми двох несумісних поді А і В є:

.

Події таутворюють повну групу подій, тому.

Імовірність появи хоча б однієї випадкової події. Нехай є n сумісних випадкових подій ,,...,. Позначимо черезподію, яка полягає в тому, що з'явиться хоча б одна з цих подій. Тоді подіяце подія за якої жодна з подій не відбудеться.

.

1320 11

Формула повної ймовірності. У разі, коли випадкова подія А може відбутися лише за умови, що відбудеться одна з несумісних випадкових подій ,, ..., які утворюють повну групу і між собою є попарно несумісними, імовірність події А обчислюється за формулою повної ймовірності:

.

Формула Байєса. Умовна ймовірність події B_k у припущенні, що подія А вже відбулася, визначається за формулою Байєса:

.

Задачі для розв’язання

1. В урні 10 білих, 15 чорних, 20 синіх та 25 черво­них куль однакового розміру. Навмання взято одну кулю. Знайти імовірність того, що ця куля буде

а) синя або червона; б) біла, чорна або синя.

2. Стрілок влучить у "десятку" з імовірністю 0,05, в "дев'ятку" – з імовірністю 0,20, у "вісімку" – з імовірністю 0,6. Зроблено один постріл. Яка імовірність того, що а) вибито не менше 8 очок; б) вибито більше 8 очок?

3. У ящику 13 однотипних деталей, серед них 5 бракованих, інші стандартні. Навмання з ящика беруть 4 деталі. Яка ймовірність того, що всі деталі є бракованими або стандартними.

4. В умовах попередньої задачі знайти ймовірність того, що хоча б одна із взятих деталей буде стандартною.

5. В урні міститься 15 однакових куль пронумерованих від 1 до 15. Навмання з урни беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що номер кулі виявиться кратним 3 або 5.

6. Транспортування вантажу для замовника виконують два автопідприємства, кожне з яких повинно виділити для цього по одній вантажівці. Імовірність виходу на лінію ван­тажівки з першого автопарку дорівнює 0,7, а з другого – 0,6. Знайти імовірність того, що замовник одержить потрібні вантажівки.

7. Із колоди карт (32 карти) навмання взято одну. Яка імовірність того, що це дама, якщо відомо, що взято карту червоної масті?

8. У ящику лежить 12 білих, 8 чорних і 10 червоних куль. Навмання беруть 2 кулі. Яка ймовірність того, що ці кулі різного кольору, якщо відомо, що червона куля не витягнута.

9. З колоди 36 карт навмання витягують 2 карти без повернення. Знайти ймовірність того, що це будуть туз і король.

10. Гральний кубик і монету підкидають по одному разу. Знайти ймовірність того, що на грані кубика випаде число кратне 3, а на монеті герб.

11. Прилад, що складається з n блоків виходить з ладу, якщо відмовляє один блок. Блоки працюють незалежно один від одного. Надійність кожного блоку p. Обчислити надійність приладу.

12. В урні 4 червоних, 5 синіх, 6 зелених куль. Навмання беруть 3 кулі. Яка ймовірність того, що вони будуть однакового кольору або мати різні кольори.

13. Система має два незалежно працюючих елемента. Імовірність їх відмови дорівнює 0,05 та 0,08 відповідно. Знайти імовірність відмови системи, якщо для цього до­статньо відмови хоча б одного з елементів.

14. У майстерні на верстатах А, В, С виробляють 25%, 35% та 40% усіх деталей, причому вони мають 15%, 12% та 6% браку відповідно. Знайти імовірність того, що навмання взята деталь – бракована.

15. У першій урні 2 білих та 4 чорних кулі, а у другій урні – 3 білих та 1 чорна кулі. Із першої урни переклали у другу одну кулю. Знайти імовірність того, що куля, вийнята із другої урни після перекладання, буде білою.

16. У першому ящику 12 червоних та 6 білих куль. У другому – 15 червоних та 10 білих куль. Кидають гральний кубик. Якщо випаде кількість очок кратна 3, то навмання беруть кулю з першого ящика. Якщо випаде будь-яка інша кількість очок, то беруть кулю з другого ящика. Якою буде імовірність узяти червону кулю?

17. Серед N екзаменаційних білетів є n “щасливих”. Студенти підходять за білетом один за одним. У кого більша ймовірність витягнути “щасливий” білет – у того, хто тягне першим, чи у того, хто тягне білет другим?

18. У трьох ящиках маємо однакові деталі з різних заводів: у першому – 20 стандартних та 5 нестандартних деталей; у другому – 15 стандартних та 3 нестандартних; у третьому – 14 стандартних та 2 нестандартних. Із навмання взятого ящика навмання взята деталь, яка виявилася стандартною. Знайти імовірність того, що цю деталь взято з першого ящика.

19. У першій урні 10 куль, з них 8 білих. У другій урні 20 куль, з них 4 білих. Із кожної урни навмання взято по одній кулі, а потім із двох обраних навмання взято одну. Знайти імовірність того, що остання куля буде білою.

20. У першому ящику 8 білих та 6 чорних куль. У другому – 10 білих і 4 чорних. Навмання вибирають ящик і кулю. Відомо, що витягнута куля чорна. Знайти ймовірність того, що було обрано другий ящик.

Т е с т и

Варіант №1

1. У коробці a білих, b чорних, c червоних куль. Ймовірність того, що з ящика витягли білу або червону кулю дорвінює:

а) (a+c)·(a+b); б) (a+b+c)/(b+c); в) (a+c)/(a+b+c); г) (ab)/(a+b+c).

2. Якій умові повинні задовольняти події В и С, щоб була справедлива формула Р(А) = Р(A/B)P(B) + P(A/C)P(C).

а) необхідні всі умови; б) Р(A/B) + P(A/C) = 1;

в) P(C) + P(B) = 1; г) Р(CB) = 0.

3. В урні 10 білих, 15 чорних, 20 синіх та 25 червоних куль однакового розміру. Навмання взято одну кулю. Знайти імовірність того, що ця куля буде синя або червона.

а) 5/14; б) 9/14; в) 2/7; г) 3/4.

4. З колоди 36 карт навмання вибирають 4 карти. Визначити ймовірність того, що серед них буде 2 “короля”.

а) ; б); в); г) немає вірної відповіді.

5. На заводі виробляються болти. Перша машина виробляє 25%, друга – 40%, третя – 35% усієї продукції. У їхній продукції брак становить відповідно 5%, 4%, 2%. Навмання взятий болт виявився бракованим. Яка ймовірність того, що він зроблений першою машиною?

а) 0,5; б) 0,47; в) 0,0355; г) 0,35.

Варіант №2

1. У коробці a білих, b чорних куль. Навмання беруть дві кулі. Ймовірність того, що обидві кулі білі дорівнює:

а) ; б); в); г).

2. Сума двох подій – це

а) подія, яка полягає в одночасній появі цих подій;

б) сума ймовірностей цих подій;

в) число появ цих подій;

г) подія, яка полягає в появі хоча б однієї з цих подій.

3. В урні 10 білих, 15 чорних, 20 синіх та 25 червоних куль однакового розміру. Навмання взято одну кулю. Знайти імовірність того, що ця куля буде біла, або чорна, або синя.

а) 5/14; б) 9/14; в) 2/7; г) 3/4.

4. У партії з 45 виробів 4 бракованих. З партії вибирають навмання 8 виробів. Визначити ймовірність того, що з 8 виробів 3 виявляться бракованими.

а) ; б); в); г) немає вірної відповіді.

5. Є два однакових ящика з кулями. У першому ящику дві білі і одна чорна куля, в другому — одна біла і чотири чорні кулі. Навмання вибирають один ящик і з нього вибирають одну кулю. Яка ймовірність того, що куля виявиться білою?

а)13/15; б) 9/4; в) 2/3; г) 13/30.