- •Міністерство фінансів України
- •Передмова
- •1. Програма навчальної дисципліни опис навчальної дисципліни «математика для економістів»
- •Інструментальні:
- •Міжособистісні:
- •Системні:
- •Спеціальні:
- •Тематичний план навчальної дисципліни
- •Зміст навчальної дисципліни
- •Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці
- •Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння
- •Змістовий модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи математичної економіки
- •Тема 14. Ряди та їх застосування
- •Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки
- •3. Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •Тема 1. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей
- •План вивчення теми
- •Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •1. Випадкові події
- •2. Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій
- •3.Операції над подіями
- •Питання для самоконтролю
- •2. Елементи комбінаторики
- •3. Геометрична ймовірність
- •4. Статистична ймовірність
- •5. Умовна ймовірність
- •5.1. Залежні та незалежні випадкові події
- •5.2. Обчислення умовної ймовірності
- •Література
- •3. Локальна теорема
- •4. Інтегральна теорема
- •5. Використання інтегральної теореми
- •6. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій
- •7. Проста течія подій
- •Питання для самоконтролю
- •Функція розподілу ймовірностей
- •Щільність ймовірностей (диференціальна функція) її властивості
- •Питання для самоконтролю
- •Література
- •1.2. Мода та медіана випадкової величини
- •1.3. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
- •1.4. Початкові та центральні моменти
- •7. Розподіл («хі-квадрат»)
- •8. Розподіл Стьюдента
- •2. Коефіцієнт кореляції
- •2. Закон розподілу та числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу
- •2. Марковські випадкові процеси. Ланцюги Маркова
- •3. Процес народження і загибелі
- •4. Елементи теорії масового обслуговування
- •Питання для самоконтролю
- •2. Генеральна та вибіркова сукупності
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •2. Похибки перевірки гіпотез
- •3. Критерії узгодження для перевірки гіпотез
- •4. Критична область
- •Питання для самоконтролю
- •2. Визначення параметрів ,
- •3. Властивості ,
- •4. Множинна регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Література
- •Література
- •5. Методичні рекомендації до виконання індивідуальних завдань
- •Методичні вказівки до виконання завдань
- •Приклади розв’язків задач для індивідуальної роботи
- •Завдання для індивідуальної роботи
- •6. Підсумковий контроль
- •7. Критерії оцінки знань та вмінь студентів
- •Самостійна робота студентів
- •Практичні заняття
- •Модульний контроль
- •Індивідуальна робота
- •8. Список рекомендовоної літератури Обов’язкова література
- •Додаткова література
- •Математика для економістів
Література
Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].
Практичне заняття №9
Тема 7. Функції випадкового аргументу
Мета заняття: Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички розрахунку числових характеристик функції дискретного та неперервного випадкових аргументів в ході розв’язання практичних задач.
Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.
План заняття
Основні теоретичні відомості з теми заняття.
Розв’язування задач.
Підведення підсумків заняття.
Методичні рекомендації
Якщо вказано закон, за яким кожному можливому значенню випадкової величини X відповідає певне значення випадкової величини Y, то Y звуть функцією X і позначають .
Нехай – функція випадкового аргументу. Якщо X - дискретна випадкова величина, то Y також дискретна випадкова величина із відповідними значеннями.
Математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення функції Y обчислюють за формулами:
,
,
.
Коли X — неперервна випадкова величина, закон розподілу якої заданий щільністю ймовірностей, і – диференційовна функція, монотонна на усьому проміжку можливих значень X, то щільність розподілу функції визначають так
.
де - функція, обернена по відношенню до функції .
Числові характеристики функцій неперервного випадкового аргументу визначаються за формулами:
; ;
.
Задачі для розв’язання
1. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:
-
Хі
-4
-2
-1
1
2
4
Рі
0,1
0,2
0,1
0,1
0,2
0,3
Побудувати закон розподілу ймовірностей для Y=3Х2.
2. За заданим законом розподілу:
-
Хі
-π/3
-π/4
-π/6
0
π/6
π/4
Π/3
Рі
0,1
0,2
0,1
0,1
0,2
0,1
0,2
Обчислити M(Y), D(Y), ( Y ), якщо Y=cos2 Х.
3. Випадкова величина Х рівномірно розподілена в інтервалі (-1, 1). Знайти щільність імовірності випадкової величини Y=Х2.
4. Задані розподіли незалежних випадкових величин Х та Y:
Х |
-1 |
0 |
1 | |
Р(Х) |
0,3 |
0,5 |
0,2 | |
Y |
0 |
1 | ||
Р(Y) |
0,4 |
0,6 |
Знайти математичне сподівання та дисперсію випадкової величини Z=X2·Y3.
5. Випадкова величина Х розподілена рівномірно в інтервалі (0, 2). Знайти дисперсію випадкової величини Y=3-2Х.
6. Задані розподіли випадкових величин Х та Y:
Х |
3 |
5 |
7 | |
Р(Х) |
0,3 |
0,5 |
0,2 | |
Y |
2 |
6 | ||
Р(Y) |
0,6 |
0,4 |
Скласти розподіл величини Z=X+Y та знайти її математичне сподівання .
7. Незалежні випадкові величини Х та Y мають щільності ймовірностей:
f(x) f(y)
-2 x 2 y
Визначити 1) M(2X+3Y-2), D(2X+3Y-2),
2) M(XY), D(XY).
Т е с т и
Варіант №1
Дискретна випадкова величина задана законом розподілу
Х |
1 |
3 |
5 |
Р |
0,2 |
0,5 |
0,3 |
Нехай Y=X2+1, тоді
1. М( Х ) дорівнює: а) 2,02; б) -1,3; в) 3,2 г) 0.
2. М(Y) дорівнює: а) 11; б) -1,4; в) 4,5 г) 13,2.
3. М(Y2) дорівнює: а) 0,55; б) 123; в) 253,6; г) 134.
4. D(Y) дорівнює: а) 4,5; б) 79,36; в) 2,3; г) 0,14.
Варіант №2
Випадкова величина Х рівномірно розподілена в інтервалі (-1; 1). Для випадкової величини Y=Х2 знайти:
1. щільність імовірності;
2. М(Y). а) 1/3; б) -1; в) 1/6 г) 0.
3. М(Y2). а) 45; б) 8,19; в) 5; г) 0,1.
4. D(Y). а) 13/180; б) 14/180; в) 1,1 г) 7,35.