Питання для самоконтролю

1. Що означає функціональна залежність між ознаками X та Y ?

2. Дати означення статистичної залежності між ознаками X та Y.

3. Що означає кореляційна залежність між ознаками X та Y ?

4. Що таке коефіцієнт кореляції?

Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

4. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

Модуль 2. Теорія ймовірностей і математична статистика

Змістовий модуль1. Теорія ймовірностей

Практичне заняття №1

Тема 1. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей.

Мета заняття: Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички використання основних понять теорії ймовірностей в ході розв’язання практичних задач.

Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.

План заняття

1. Основні теоретичні відомості з теми заняття.

2. Розв’язування задач.

3. Підведення підсумків заняття.

Методичні рекомендації

Ймовірністю випадкової події А називається невід'ємне число Р(А), що дорівнює відношенню числа елементарних подій , які сприяють появіА, до кількості всіх елементарних подій n простору :

.

Для неможливої події . Для вірогідної події.

Щоб обчислити ймовірність тієї чи іншої випадкової події для певного класу задач із дискретним і обмеженим простором елементарних подій, необхідно вміти обчислити кількість усіх елементарних подій (елементів множини) і числоелементарних подій, які сприяють появі випадкової події. Для цього використовуються елементи комбінаторики: переставлення, розміщення та комбінації.

Переставленням із елементів називають такі впорядковані множини зелементів, які різняться між собою порядком їх розміщення.

Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою

,

де набуває лише цілих невід'ємних значень. За означенням 1! =1 і 0!=1.

Розміщенням із n елементів по m (0<m<n) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом.

Кількість таких множин обчислюється за формулою

.

Комбінаціями з n елементів по m (0<m<n) називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом.

Число комбінацій з n елементів по m позначається . І знаходиться за формулою

.

Задачі для розв’язання

1. Дві особи стріляють у мішень по одному разу. Подія А – у мішень влучив перший стрілець. Подія В - у мішень влучив другий стрілець. Виразити через А та В такі події

С - два влучення у мішень;

D - хоч би одне влучення у мішень;

Е - лише одне влучення у мішень.

2. Скільки п'ятизначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, щоб жодна з них не повторювалась?

3. Скількома способами з 10 осіб можна вибрати комісію у складі чотирьох осіб?

4. Скільки парних чотиризначних чисел, що складаються з цифр 2, 3, 5, 7 можна одержати, якщо повторення цифр у числах заборонені?

5. У філії банку працюють 15 співробітників, троє з яких не мають потрібної кваліфікації. Скільки можна скласти списків а) по 8 співробітників; б) по 6 кваліфікованих співробітників; в) по 9 співробітників, два з яких не мають потрібної кваліфікації?

6. Правління підприємства складається з 9 осіб. Скільки можна скласти варіантів обрання з їх числа трьох керівників – президента, директора та комерційного дирек­тора?

7. У малому підприємстві працюють 4 жінки та 5 чоловіків. Випадковим способом дві особи запізнились. Знайти імовірність того, що одна з цих осіб – жінка, а друга – чоловік.

8. На кожній із п'яти однакових карток написана одна із цифр 1, 2, 3, 4, 5. Навмання картки розкладають в один рядок. Обчислити ймовірність таких випадкових подій:

1) А - цифри на картках утворюють зростаючу послідовність;

2) В - спадну послідовність;

3) C - цифри 1, 2 стоятимуть разом на початку рядка;

4) D - цифра 1 стоятиме на першому місці, а 5 — на останньому.

9. Маємо тринадцять однакових карток з літерами: Е Е А А Е І П Л Л Д Р П П, які навмання розкладають у рядок. Яка ймовірність того, що при цьому дістанемо слово «паралелепіпед».

10. Задана множина цілих чисел = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Яка ймовірність того, що навмання взяті чотири числа, розміщені в ря­док, утворять число 2137?

11. З урни, що містить три білих і чотири чорних кулі, навмання взяли одну. Яка імовірність того, що ця куля: а) біла; б) чорна?

12. Дев'ять пасажирів навмання розміщуються у трьох вагонах. Обчислити ймовірність таких випадкових подій: 1) А — у кожному вагоні виявиться по три пасажири; 2) В — у першому вагоні вияви­ться 4 пасажири, у другому — 3 і в третьому — 2 пасажири.

13. Що імовірніше: виграти в рівносильного супротивника (нічийний результат партії виключений) три партії з чотирьох чи п'ять з восьми?

14. Вироби деякого виробництва містять 5% браку. Знайдіть імовірність того, що серед п'яти узятих навмання виробів: немає жодного зіпсованого; два зіпсованих.

15. Підкидають гральний кубик. Яка імовірність випадання номера 4 на верхній грані кубика? Яка імовірність випадання номера, більшого 4?

Т е с т и

Варіант №1

1. Скільки різних чотиризначних чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, щоб жодна з них не повторювалась?

а) 120; б) 300; в) 470; г) 720.

2. Подія А – влучення в мішень першим пострілом. Подія В – влучення в мішень другим пострілом. У чому полягає подія А+В?

3. До профкому вибрано 7 осіб. З них потрібно вибрати голову профкому та його заступника. Скількома способами це можна зробити?

а) 42; б) 7!; в) 38; г) 20.

4. Гральний кубик підкинули двічі. Знайти ймовірність того, що сума очок, що випали на гранях, дорівнює 5.

а) 1/2; б) 1/6; в) 2/3; г) 1/9.

5. Студент забув останні три цифри потрібного теле­фону, але він пам'ятає, що всі три цифри різні, тому набирає їх навмання. Знайти імовірність того, що набрані цифри вірні.

а) 1/120; б) 1/720; в) 3/10; г) 1/3.

Варіант №2

1. Скільки різних чотиризначних чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо цифри можуть повторюватись?

а) 2120; б) 30; в) 2058; г) 4032.

2. Подія А – поява непарного числа очок при підкиданні грального кубика. Подія В – не поява трьох очок при підкиданні грального кубика. У чому полягає подія АВ?

3. Яка з подій є частиною іншої події:а) влучення у мішень при першому пострілі;б) влучення у мішень, що найменше, одним з чотирьох пострілів;в) влучення у мішень не більше ніж 5 пострілами.

4. У ящику 3 білих і 5 чорних куль. Навмання беруть одразу дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білими.

а) 3/28; б) 11/16; в) 2/3; г) 1/7.

5. Підкидають два гральних кубика. Знайти ймовірність того, що добуток очок, що випали на гранях кубика, дорівнює 6.

а) 1/9; б) 1/4; в) 1/36; г) 1/16.