Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МатАн_ЛинАлг_080100 / ЗаданияСР_МА_080100.pdf
Скачиваний:
41
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
690.03 Кб
Скачать

РАЗДЕЛ. II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Тема 4. Вычисление производных

4.1. Вопросы для самостоятельного изучения

4.1.1. Производная функции

Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю.

Обозначения производной: y, yx , f (x), dydx .

Таким образом,

 

 

 

 

 

y′ = lim

y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

x

4.1.2. Правило дифференцирования по шагам

1)

найти f (x +

x) = y +

y ;

 

 

2)

найти приращение функции y = f (x + x) f (x) ;

3)

найти отношение

y

 

;

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

найти производную y′ = lim

y .

 

 

 

 

 

x0

x

4.1.3. Геометрический смысл производной.

Производная f (x0 )

– это угловой коэффициент касательной к графику

функции y = f (x) в точке M (x0 , y0 )

 

 

f (x0 ) = kкас = tg α.

Уравнения касательной и нормали к графику функции y = f (x) в точке

M (x0 , y0 ) имеет вид:

y y0 = f (x0 ) (x x0 ) ,

22

y y = −

1

(x x ) .

 

0

f (x0 )

0

 

 

4.1.4. Правила и формулы дифференцирования

Правила дифференцирования. Если u = u(x) , v = v(x) – дифференцируе-

мые функции, то имеют место формулы:

Производная постоянной равна нулю, то есть C′ = 0 ;

(u ± v)=u′ ± v; (u v)= uv + u v;

(Cu)=Cu, где C – постоянная;

 

 

 

=u

v w + u v

(u v w)

 

 

w + u v w

;

u

=

u

v u v

 

 

 

 

 

v2

, при условии, что v 0 .

 

v

 

 

 

 

 

 

4.1.5. Таблица производных:

1.x′ =1

2.(xn )= n xn1

3.1 = − 12x x

4. (

x )=

 

1

 

x

 

2

5.(ax )= ax ln a

6.(ex )= ex

7.(loga x)= xln1 a

8.(ln x)= 1x

9.(sin x)= cos x

10.(cos x)= −sin x

11.(tg x)= cos12 x

12.(ctg x)= −sin12 x

13.

(arcsin x)=

 

1

 

1 x2

 

 

14.

(arccos x)= −

1

 

1 x2

 

 

 

15.(arctg x)=1 +1x2

16.(arcctg x)= −1 +1x2

23

4.1.6. Производная сложной функции

Функция y называется сложной функцией переменной x , если

y = f (u), u = g(x) .

Переменная u называется промежуточной, а x независимой. Функции y = f (u), u = g(x) называются звеньями сложной функции. Сложную функ-

цию записывают в виде y = f [g(x)].

Если y = f (u), u = g(x) – дифференцируемые функции, то сложная функ-

ция y = f [g(x)] также дифференцируема и

yx = yuux (правило цепочки).

4.1.7.Логарифмическое дифференцирование

1)Функция y = f (x) логарифмируется по основанию e

ln y = ln f (x) ;

2) находятся производные левой и правой частей полученного равенства по переменной x с учетом того, что y – это функция x

1y y′ = (ln f (x));

3) из последнего равенства выражается производная y

y′ = y (ln f (x))= f (x) (ln f (x)).

Выражение 1y y′ = yyназывают логарифмической производной.

4.1.8. Производные высших порядков

Рассмотрим функцию y = f (x) . Ее производная yтакже является функ-

цией переменной x . Следовательно, ее также можно дифференцировать, то есть находить производную (y). Эта производная называется второй произ-

водной и обозначается y′′, f ′′(x) , d 2 y . Итак, dx2

y′′ =(y).

24

Вторая производная y′′ называется также производной второго порядка,

а производная yпервой производной или производной первого порядка.

Аналогично, производная от второй производной (y′′)называется треть-

ей производной или производной третьего порядка y′′′ =(y′′)и обозначается

′′′

d3 y

 

 

 

также f (x) , dx3 .

 

 

 

В общем случае, производная n-го порядка – это производная от произ-

водной (n – 1)-го порядка

 

 

 

 

y(n) =(y(n1) ).

4.1.9. Дифференциал функции, его свойства

Дифференциалом функции

y = f (x) называется произведение произ-

водной на приращение независимой переменной и обозначается dy .

Таким образом, dy = f (x)

x .

 

Дифференциал

dy = f (x)

x

является главной частью приращения

функции

y = f (x +

x)f (x).

 

 

Так как для независимой переменной x имеем

 

 

dx = x

x =1 x = x ,

то дифференциал можно записать в другой форме

dy = f (x)dx ,

которая называется второй формой дифференциала.

Свойства дифференциала

1. Если u =u(x) , v = v(x) – дифференцируемые функции, то справедливы

формулы:

d (Cu)=Cdu;

d (u ± v)= du ± dv;

d (u,v)= vdu + udv;

u

=

vdu udv

.

d

v2

 

v

 

 

Приложение дифференциала

25