МатАн_ЛинАлг_080100 / Лекции_Математика_1_Линейная_алгебра

Поташев А.В., Поташева Е.В. Математика, математический анализ, линейная алгебра. Лекции. Часть 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – Казань: Казанский кооперативный институт, 2012. – 48 с.

Лекции разработаны в соответствии с учебными планами дисциплин «Математика», «Математический анализ», «Линейная алгебра», утвержденными ученым советом Российского университета кооперации от 22 марта 2011 г., протокол №4., и рабочими программами от 29.08.2011, протокол №1.

Рецензент: к.ф-м.н., доцент Николаева Н.В.

Одобрено и рекомендовано к изданию решением кафедры инженерно – технических дисциплин и сервиса от 9.09.2011, протокол № 2.

© Казанский кооперативный институт (филиал) Российского университета кооперации, 2012 © Поташев А.В., Поташева Е.В., 2012

2

РАЗДЕЛ. ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Тема 1. Линейная алгебра

1.1.Определители. Свойства определителей

1.1.1.Определители второго и третьего порядка, их свойства. Миноры и алгебраические дополнения.

1.1.1.1.Основные определения

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел

состоящая из m строк и n столбцов. 1

Каждый элемент aij матрицы имеет двойной номер; i – номер строки, j

– номер столбца на пересечении которых стоит этот элемент. Например, элемент a34 стоит на пересечении третьей строки и четвертого столбца. Если m = n , то матрица называется квадратной матрицей n -го порядка.

Для квадратной матрицы вводится понятие определителя (детерминанта) матрицы.

Определителем матрицы A n -го порядка называется число

вычисляемое по определенному правилу. Рассмотрим случаи: n = 2, n = 3.

Определитель второго порядка записывается и вычисляется по следу-

1 Двойной вертикальной чертой слева абзаца будем отмечать основные определения.

3

ющему правилу

+ –

D = a11 a12 = a11 a22 - a21 a12 , a21 a22

то есть равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Пример 1.

3 -1 = 3 × 4 - (-1) × 5 =17 . 5 4

Определителем третьего порядка называется число, которое записывается и вычисляется в следующем виде

1.1.1.2. Свойства определителей

Свойства определителей (справедливы для определителей любого порядка, но покажем для определителей третьего порядка).

Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, а столбцы строками, сохраняя порядок.

Свойство 2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

Например:

4

Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Например:

a11 a12 a13

a11 a12 a13 = 0 .

a31 a32 a33

Свойство 4. Если все элементы некоторой строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю

a11 a12 = 0 .

0 0

Свойство 6. Определитель не изменится, если ко всем элементам некоторой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число:

Все эти свойства можно проверить, вычисляя определители непосредственно.

1.1.1.3. Миноры и алгебраические дополнения

Минором M ij элемента aij определителя называется определитель, полу-

ченный из данного определителя вычеркиванием i -ой строки и j -ого столбца,

на пересечении которых стоит элемент aij .

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется произведение

5

минора M ij на (-1)i+ j , то есть

Aij = (−1)i+ j Mij .

Пример 3. Найти M 23 и A23 определителя

2−1 0

11 3 . −2 3 1

Решение. Элемент a23 = 3 стоит на пересечении второй строки и третьего столбца. Вычеркнем эту строку и этот столбец, получим

1.1.1.4. Разложение определителя по элементам строки или столбца

Приведем без доказательства еще одно свойство.

Свойство 7. Определитель равен сумме произведений элементов какойлибо строки или столбца на их алгебраические дополнения:

Пример 4. Вычислить определитель

2−1 0

=1 1 3 . −2 3 1

разложением по элементам третьего столбца.

Решение.

= 0 − 3(6 − 2) + 1(2 + 1) = −12 + 3 = −9 .

Замечание. Вычисление определителя значительно упростится, если сначала преобразовать определитель, используя свойства определителя. Для этого надо обратить все элементы какой-либо строки или столбца в нули, кроме одного, используя седьмое свойство определителя, а затем разложить определитель по элементам полученной строки (столбца).

6

1.2.Матрицы. Действия над матрицами

1.2.1.Матрицы. Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Произведение матриц

1.2.1.1.Определения

В начале лекции мы дали определение матрицы: матрица – это прямоугольная таблица чисел

состоящая из m строк и n столбцов. Коротко матрицу записывают следующим образом

имеющие одинаковые размеры.

Матрицы A и B называются равными A = B , если aij = bij при любых i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n.

Суммой матриц A и B называется матрица

A + B = (aij + bij )m×n ,

полученная сложением элементов с одинаковыми индексами. Произведением матрицы A на число λ называется матрица

λA = (λaij )m×n ,

полученная умножением каждого элемента матрицы A на число λ . Пример 5. Даны матрицы:

Найти матрицу A − 4B .

7

Решение.

Замечание 2. Произведение матриц не обладает свойством перестановочности: AB ¹ BA. Более того, произведение BA может быть не определено, как в примере 3.

1.2.2.Обратная матрица

1.2.2.1.Определения

Пусть A – квадратная матрица A = (aij )n×n порядка n.

Рассмотрим несколько определений.

Матрица A называется невырожденной, если определитель матрицы не равен нулю, т.е. A ¹ 0.

Квадратная матрица вида

8

1 0 0 0

0 1 0 0

E = 0 0 1 0 .

0 0 0 1

называется единичной матрицей.

Свойство единичной матрицы. Если матрицы A и E имеют один порядок, то

AE = EA = A.

Матрица, AT , полученная из матрицы A заменой строк столбцами, назы-

вается транспонированной матрицей.

Квадратная матрица A−1 порядка n называется обратной к матрице A,

если

A × A−1 = A−1 × A = E.

Замечание. Каждая невырожденная квадратная матрица имеет обратную.

1.2.2.2. Способ нахождения обратной матрицы

Рассмотрим матрицу A = (aij )n×n . Обратная ей матрица может быть найдена в результате выполнения следующих этапов.

1.Найти определитель матрицы A ¹ 0 .

2.Найти алгебраические дополнения Aij всех элементов aij матрицы A и

составить из них новую матрицу

3. Записать транспонированную матрицу AɶT .

4. Найти обратную матрицу по формуле

9

Пример 7.

Найти обратную матрицу к матрице

Решение.

1. Найдем определитель матрицы

1 0 2

A = 2 -1 3 = -2 + 4 - 3 = -1.

0 1 2

2. Найдем алгебраические дополнения

и составим матрицу

3. Найдем транспонированную матрицу

4. Найдем обратную матрицу

Можно сделать проверку

10