МатАн_ЛинАлг_080100 / Лекции_Математика_1_Линейная_алгебра
.pdf
3.2. Плоскость и прямая в пространстве. Основные задачи аналитической геометрии
3.2.1.Уравнения плоскости и прямой в пространстве
3.2.1.1.Уравнение плоскости
Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат в пространстве. Каждая точка в этой системе имеет три координаты
Рассмотрим плоскость в пространстве 3 . Получим различные виды ее уравнения и отметим их основное свойство.
1. Вектор N = ( A, B, C ) , перпендикулярный плоскости, называется нор-
мальным вектором плоскости.
N
M
M 0
РИС. 3.2.1
Пусть для данной плоскости известен нор-
мальный вектор N = ( A, B, C ) и точка
M0 ( x0 , y0 , z0 ) , лежащая на плоскости.
Пусть также M ( x, y, z ) произвольная точка
плоскости. |
Тогда |
M 0 M ^ N , |
где |
|
|
= (x − x0, y − y0 , z − z0 ). |
|
|
|
M 0 M |
|
|
||
Записав условие перпендикулярности векторов, получим уравнение плоскости
|
|
|
|
|
|
A( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0 |
, |
которое |
называется уравнением плоскости, проходящей через точку |
||
M0 ( x0 , |
y0 , z0 ) с данным нормальным вектором N = ( A, B, C ). |
||
2) Так же, как для прямой на плоскости можно записать общее уравне-
ние плоскости:
Ax + By + Cz + D = 0, ( A2 + B2 + C 2 ¹ 0).
41
3.2.1.2. Уравнение прямой в пространстве
1. Любую прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, если они не параллельны. Поэтому система двух уравнений
A1x + B1 y + C1z + D1 = 0A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
задает прямую в пространстве и называется общими уравнениями прямой в пространстве.
2. При решении задач на прямую в пространстве чаще используют другой
способ задания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть S = (m, n, p) |
- направляющий, вектор прямой (лежащий на прямой |
|||||||||
или параллельной ей) и M0 ( x0 , y0 , z0 ) |
- данная точка на прямой. |
|||||||||
|
Пусть M ( x, y, z ) – |
произвольная точка на прямой, то- |
||||||||
S |
гда векторы |
M0 M = ( x − x0 , y − y0 , z − z0 ) и S колли- |
||||||||
|
неарны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
Записывая условие коллинеарности векторов, получим |
|||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
. |
||||||
M 0 |
|
|
x − x0 = y − y0 = z − z0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РИС. 3.2.2 |
|
|
m |
|
|
n |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим основные свойства уравнений прямой в пространстве:
1)количество уравнений – 2;
2)уравнения линейные, т.е. содержат переменные в первой степени с числовыми коэффициентами.
3.2.2. Основные задачи аналитической геометрии на плоскости
Рассмотрим основные задачи, связанные с уравнением прямой на плоско-
сти в 2 .
1) Проверить принадлежности точки M0 ( x0 , y0 ) прямой
Ax + By + C = 0.
Если координаты точки M 0 удовлетворяют уравнению прямой
Ax0 + By0 + C = 0
42
то точка лежит на прямой.
2) Найти точку пересечения прямых
A1x + B1 y + C = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0
Для этого решаем систему линейных уравнений
A1x + B1 y = −C1
A2 x + B2 y = −C2
Если эта система имеет единственное решение ( x0 , y0 ) , то точка
M( x0 , y0 ) является точкой пересечения прямых.
3)Найти угол ϕ между прямыми. При вычислении мы можем найти острый угол ϕ или дополнительный к нему тупой угол π − ϕ.
l2 |
y |
|
l1 |
ϕ
α1 α2 x
0
Для вычисления ϕ получим несколько формул, используемые в зависи-
мости от уравнения прямых.
а) Прямые: y = k1x + b1, y = k2 x + b2
Так как α1 + ϕ = α2 , то ϕ = α2 − α1. Отсюда
tg j = tg (a |
2 |
- a ) = |
tg α2 − tg α1 |
, |
|||
|
|||||||
|
1 |
1 |
+ tg a2 |
× tg a1 |
|
||
|
|
|
|
||||
а так как tg α1 = k1, tg α2 = k2 , то
tg j = k2 - k1
1 + k1k2
б) Прямые имеют направляющие векторы S1 = (m1, n1 ), S2 = (m2 , n2 ). Тогда j = (S1ɵ, S2 ), а значит
43
cos j = cos(S1ɵ, S2 ) = S1 ×× S2
S1 S2
или
cos j = |
|
m1m2 + n1n2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
+ n2 |
|
m2 |
+ n2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
в) Прямые имеют нормальные векторы N1 = ( A1, B1 ), N2 = ( A2 , B2 ).
Тогда j = (N1ɵ, N2 ), а значит
cos j = cos(N1, N2 ) = N1 ×× N2
N1 N2
или
cos j = |
|
A1 A2 + B1B2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
+ B2 |
|
A2 |
+ B2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
4) Условие параллельности двух прямых.
Прямые параллельны l1 l2
а) S1 S2 Û m1 = n1 m2 n2
|
|
|
Û |
A1 |
= |
B1 |
|
б) N |
N |
2 |
|||||
|
|
||||||
1 |
|
|
A2 |
|
B2 |
||
|
|
|
|
|
в) ϕ = 0, tgϕ = 0 k1 = k2 .
5) Условие перпендикулярности двух прямых.
Прямые перпендикулярны l1 l2
а) S1 ^ S2 Û m1m2 + n1n2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
б) N1 ^ N2 Û A1 A2 + B1B2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
в) j = π tgj - не существует Û 1 + k k |
2 |
= 0 |
k k |
2 |
= −1. |
|
2 |
1 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3.3. Кривые второго порядка
Линией второго порядка на плоскости 2 называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второй степени
44
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 . |
(20) |
Изучим свойства, построим графики линий второго порядка.
3.3.1. Окружность
Окружность – линия второго порядка, каноническое уравнение которой имеет вид
x2 + y2 = R2 .
Окружность – хорошо известная из школы кривая, которая определялась как множество точек на плоскости, равноудаленных от точки, называемой центром окружности. Расстояние от центра до точек окружности называется ради-
усом.
Для окружности, имеющей уравнение
x2 + y2 = R2
центр находится в точке O (0,0) , а радиус – R .
Если центр окружности находится в точке M (x0 , y0 ) , а радиус R , то уравнение окружности имеет вид ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 = R2 .
3.3.2. Эллипс
Эллипс – линия второго порядка, каноническое уравнение которой имеет
вид
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
График |
|
эллипса |
|
Числа a,b – полуоси эллипса. |
|
|||||||
имеет вид |
|
|
|
|
Если |
a ³ b , |
|
можно |
ввести |
число |
|||
|
|
y |
|
|
|
c = |
a2 − b2 < a . Точки F (−c,0), |
F (c,0) называют |
|||||
|
|
b B2 |
M |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
r1 |
|
|
фокусами эллипса. |
|
|
|
|
|||||
A1 |
|
r2 |
A2 |
|
|
|
|
|
|||||
-a |
F1 |
О F2 |
a |
x |
|
Если |
M ( x, y ) |
– |
произвольная точка эллипса, |
||||
|
-b B |
|
|
|
то |
длины |
отрезков |
|
MF1 = r1, MF2 = r2 называются |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РИС. 3.3.1 |
|
фокальными расстояниями точки M . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
45
Основное свойство эллипса (фокальное свойство): для любой точки эллипса r1 + r2 = 2a (сумма фокальных расстояний равна большой оси).
Замечание. Если b ³ a , то фокусы лежат на оси 0 y и основное свойство примет вид: r1 + r2 = 2b .
Эксцентриситетом эллипса называется число ε = c . Для эллипса ε < 1 a
(для окружности a = b c = 0 ε = 0 ).
3.3.3. Гипербола
Гипербола – это линия второго порядка, каноническое уравнение которой имеет вид
|
|
x2 |
− y2 = 1 |
|
|
|
a2 |
b2 |
|
График гиперболы имеет |
a – |
действительная полуось, b – мнимая полу- |
||
|
вид |
ось. |
|
|
|
y |
|
Введем число c = |
a2 + b2 . |
|
M |
|
Точки F1 (−c,0), |
F2 (c,0) - называются фо- |
r1 |
b |
|
||
r2 |
|
|
|
|
|
кусами гиперболы. |
|
||
-а |
A2 |
|
||
|
|
|
||
F1 A1 |
О a F2x |
|
Если M ( x, y ) - произвольная точка гипер- |
|
|
-b |
болы, то длины отрезков: MF1 = r1 , MF2 = r2 - |
||
|
|
называются фокальными расстояниями. |
||
РИС. 3.3.2
Основное (фокальное) свойство гиперболы: r1 − r2 = 2a .
Эксцентриситет гиперболы – это число ε = c > 1. a
3.3.4. Парабола
Парабола – это линия второго порядка, каноническое уравнение которой имеет вид
y2 = 2 px .
46
|
|
|
d |
y |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
Точка |
F |
|
,0 называется фокусом |
параболы, |
а |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
p |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
O |
|
|
F |
прямая x = − |
называется директрисой параболы. Пусть |
||||||||
|
p |
|
|
p |
2 |
|||||||||||
− |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
M ( x, y ) - производная точка параболы. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РИС. 3.3.3
Основное свойство параболы: расстояние от любой точки M параболы до фокуса и до директрисы одинаковы: MF = MN r = d .
Эксцентриситет параболы равен единице: ε = 1.
47
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
а) основная литература
Математика: Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000) / Б.Т. Кузнецов – 2- е изд., перераб. и доп. – М: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 719 с. – ( Серия «Высшее профессиональное образование: Экономика и управление»).
Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – ИНФРА-М, 2007. – 575 с. (Серия «Высшее образование»).
б) дополнительная литература
Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ,
2004.
Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для вузов. – 7- е изд., стер. – М.: Высшая школа. – 2005. – 479 с.
Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. СПб.: Питер,
2004.
Астровский А.И., Широкова Н.А. Курс лекций по высшей математике.
Ч.1. – Мн.: ИСЗ, 2002.
Гусак А.А., Бричикова Е.А., Гусак Г.М. Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. – М.: Айрис-
пресс, 2005. – 608 с.
48