РАЗДЕЛ. I. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Тема 1. Элементы теории множеств. Понятие функции
1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
1.1.1. Элементы теории множеств
Множество – это совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку в единое.
Объекты, из которых состоит множество, называются элементами мно-
жества.
Множества обозначаются большими буквами латинского алфавита: A , B , X , Y , …, а их элементы – малыми буквами: a , b, x , y , ….
Говорят, что элемент a принадлежит множеству A, и пишут a A ( A содержит a ). Запись a A (или a A) означает, что элемент a не принадлежит множеству A. Для наглядности множество A будем изображать в виде плоской геометрической фигуры, например, в виде круга (точки круга – элементы множества A) (рис. 1.1.1).
Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечные множества содержат конечное число элементов, их можно задать перечислением элементов.
Примеры.
A ={a,b,c,..., p}; C ={−2,3,0,1}; B ={b1,b2 ,...,bn }.
Множества, не являющиеся конечными, называются бесконечными. Множество можно задать характеристическим свойством его элементов
– свойством, которым обладают все элементы этого множества и только они.
Записывают так: A ={x : P(x)}, где P(x) – характеристическое свойство.
A ={x : x2 − 4 = 0}={−2,2} – конечное множество,
4
B ={x : x >1} – бесконечное множество.
Множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Пустое множество – это множество, которое не содержит ни одного
элемента.
Множество B называется подмножеством множества менты множества B принадлежат множеству A.
Обозначение: B A.
Иногда говорят: A включает B , или B содержится в A. Для любого множества A справедливо: A A,A. Геометрическое изображение B A показано на рис. 1.1.2.
A, если все эле-
B A
РИС. 1.1.2
1.1.2.Операции над множествами
1)Пересечением A ∩ B множеств A и B называется множество, со-
стоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно A и B .
Таким образом, A ∩ B ={x : x A и x B}.
На рис. 1.1.3 множество A ∩ B выделено двойной штриховкой. Множест-
ва A и B могут быть такими, что их пересечение будет пустым множеством:
A ∩ B = (рис. 1.1.4).
A B A B
РИС. 1.1.3 |
РИС. 1.1.4 |
2) Объединением |
A B множеств A и B называется множество, со- |
стоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B .
Таким образом, A B ={x : x A или x B}.
На рис. 1.1.5,а,б множество A B выделено штриховкой. 5
а) |
|
б) |
|
|
|
A |
B |
A |
|
B |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
РИС. 1.1.5 |
|
|
|
3) Разностью A \ B множеств A и B называется множество, состоящее |
|||||
из всех элементов A, не принадлежащих B . |
|
|
|
||
Таким образом, |
|
а) |
|
|
б) |
|
|
|
|
A B |
|
A \ B ={x : x A и x B}. |
|
A |
B |
||
На рис. 1.1.6 множество A \ B |
|
|
|
||
выделено двойной штриховкой. |
|
|
РИС. 1.1.6 |
|
|
Если B – подмножество |
A, то разность |
A \ B также называют дополне- |
|||
нием множества B до множества A (рис. 1.1.6,б).
1.1.3. Отображение множеств. Мощность множества.
Говорят, что задано отображение множества A в множество B , если каждому элементу x из A поставлен в соответствие единственный элемент y из
B .
Обозначение: A →f B , или f : A → B .
1.1.4. Употребление математической символики. Кванторы общности, существования и единственности
В математике часто используется символическая форма записи. Ранее уже были введены такие символы, как , , , , \ , , , ∩, , , →f .
Кроме них при записи определений и формулировок теорем будут также использоваться и другие символы, в частности, символы логических операций
( – «… тогда и только тогда, когда …»; – «если …, то …»; – «… и …», – «… или …»).
Также в математике используются операции, которые называются кван-
торными операциями.
6
Квантором общности по переменной x называется выражение «для лю-
бого x » (для всякого x , для каждого x ) и обозначается x (английское слово
All – все).
« x : G(x)» – для любого x верно G(x).
Квантором существования по переменной x называется выражение
«существует x » (есть x , найдется x ) и обозначается x (английское слово Existence – существование).
Из других кванторов можно указать квантор единственности, обозначаемый !x («для одного и только одного x »).
1.1.5.Числовые множества
={1,2,3,4,...} – множество натуральных чисел.
={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...} – множество целых чисел.
|
|
p |
|
|
|
– множество рациональных чисел. |
|
= x : x |
= |
, p |
,q ,q ≠ 0 |
|
|||
|
|||||||
|
|
q |
|
|
|
||
– множество действительных (вещественных) чисел. |
|||||||
При этом |
|
|
. |
|
|
||
Каждое действительное число изображается точкой на координатной пря-
мой (числовой оси) (рис. 1.1.7).
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
2 |
3 |
|
|
|
РИС. 1.1.7 |
|
|
|
1.1.6. Подмножества множества |
|
(интервалы) |
|
|||
Рассмотрим подмножества множества |
(интервалы): |
|||||
(a,b)={x : a < x < b} |
– открытый интервал |
|
||||
[a,b]={a ≤ x ≤ b} – замкнутый интервал (отрезок)
7
x
рис. 1.1.8,а;
рис.