Тема 3. Предел и непрерывность функции

3.1. Вопросы для самостоятельного изучения

3.1.1. Односторонние пределы

Левосторонний предел функции f (x) (предел слева) обозначают:

Правосторонний предел функции f (x) (предел справа) обозначают:

3.1.2. Необходимое и достаточное условие существования предела

Для того чтобы существовал lim f (x), необходимо и достаточно, чтобы

x→a

3.1.3. Непрерывность функции

Первое определение непрерывности функции в точке

Функция y = f (x), определенная в некоторой окрестности точки x0 , на-

зывается непрерывной в точке x0 , если выполняется равенство:

lim f (x) = f (x0 ).

x→x0

Второе определение непрерывности функции в точке

Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0 , если бесконечно малому приращению аргумента x в точке x0 соответствует бесконечно малое приращение функции y .

Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

18

3.1.4. Точки разрыва и их классификация

Точки, в которых нарушено условие непрерывности функции, называются

точками разрыва функции.

Устранимый разрыв

Точка x0 называется точкой устранимого разрыва функции f (x), если

существует lim f (x) = b, но f (x0 )≠ b или f (x0 ) не существует.

x→x0

Скачок

Точка x0 называется точкой скачка функции f (x), если односторонние пределы существуют, но не равны, то есть

f (x0 − 0)≠ f (x0 + 0).

Бесконечный разрыв

Точка x0 называется точкой бесконечного разрыва функции f (x), если

lim f (x) = ∞.

x→x0

3.1.5. Свойства непрерывных функций

Свойства функций, непрерывных в точке

f (x)± g (x), f (x) g (x), gf ((xx)) ( g (x0 )≠ 0 ) также непрерывны в точке x0 .

3) Всякая элементарная функция непрерывна в области ее определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Функция y = f (x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она

19