Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МатАн_ЛинАлг_080100 / ЗаданияСР_МА_080100.pdf
Скачиваний:
40
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
690.03 Кб
Скачать

 

z

= 0

 

x

 

P1 (x1, y1 ), ...–

 

z

 

= 0

 

y

 

 

 

 

критические точки.

 

 

 

2 z

 

2 z

 

2 z

2. Найти частные производные

,

,

x2

y2

x y

 

 

 

 

 

 

 

2 z

 

2 z

 

2 z 2

 

 

и составить выражение =

x2

 

y2

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

По знаку в критических точках найти точки экстремума.

3.Найти значения функции в точках экстремума.

6.2.Контрольные вопросы

1)Дайте определение функции двух переменных.

2)Что является графиком функции двух переменных?

3)Что называется областью определения функции двух переменных?

4)Что называется линией уровня функции z = f (x, y)?

5)Что называется частной производной функцииz = f (x, y) по переменной

x, по переменной y ?

6)Дайте определение полного дифференциала функции двух переменных.

7)Как определяются производные второго порядка? Какие производные называются смешанными?

8)Дайте определение производной функции по направлению.

9)

Как можно задать направление ?

10)

Запишите формулу для вычисления производной по направлению.

11)

Чему равны максимальное и минимальное значения производной по на-

правлению?

12)

Запишите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности,

заданной неявно F (x, y, z)= 0 .

13)Дайте определение точки минимума и точки максимума функции двух переменных.

14)Сформулируйте необходимое условие экстремума функции. Будет ли это условие достаточным?

15)Дайте определение критических точек. Как их найти?

16)Сформулируйте достаточное условие экстремума функции.

17)Приведите схему исследования функции на экстремум.

43

6.3. Практическое задание для самостоятельной работы

Провести полное исследование функций.

1.

y =

 

 

x

 

2.

y =

 

x3 4

 

 

 

 

3.

y =

 

 

x2 4

 

 

4.

y =

 

x4

+ x3

x2

9

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

4

 

 

 

5.

y =

 

x3

6.

y =

 

x3

7.

y =

 

 

4x 1

8.

y =

2x3

 

 

 

 

 

(x 2)2

 

 

 

4 x2

 

 

 

 

 

x2 4

 

 

 

 

x2 1

9.

y =

x2

5

 

10.

y =

 

2x2

 

11.

y =

 

 

2 4x2

12.

y =

 

 

2x2 + 7x 4

x

3

 

x +1

 

1 4x2

 

 

 

2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

y =

 

 

x 1

14.

y =

x2

5

15.

y =

 

 

 

x

 

 

16.

y =

32 x3

x

2

2x 8

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

x2 9

 

 

 

 

4

 

 

 

 

17.

y =

x2

+ 4

 

 

18.

y =

 

 

 

x3

19.

y =

 

 

 

x

20.

y =

 

x

 

 

 

 

 

2(x +1)2

 

 

1 x2

 

 

x2 25

 

 

 

x

21.

y =

(x 1)3 4

22.

y =

 

 

x3

 

23.

y =

 

(x +1)4

+ x3 + 3x2 + 3x +1

 

(x 1)2

 

x2

25

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.

y =

4x2 4

25.

y =

 

 

x3

 

26.

y =

 

 

 

x3

27.

y =

 

 

8x3 32

 

 

2x

 

x2

4x

 

(x + 3)2

 

 

 

4x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28.

y =

2x 1

29.

y =

 

x2

36

30.

y =

 

 

x3

31.

y = x4

x3

1 x2

 

 

x

 

x2 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44