- •ЗАДАНИЯ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
- •080100.62 Экономика
- •Раздел. II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
- •Тема 4. Вычисление производных
- •4.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •4.1.1. Производная функции
- •4.1.2. Правило дифференцирования по шагам
- •4.1.3. Геометрический смысл производной.
- •4.1.4. Правила и формулы дифференцирования
- •4.1.5. Таблица производных:
- •4.1.6. Производная сложной функции
- •4.1.7. Логарифмическое дифференцирование
- •4.1.8. Производные высших порядков
- •4.1.9. Дифференциал функции, его свойства
- •4.2. Контрольные вопросы
- •4.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •Тема 5. Исследование функций на экстремумы и интервалы монотонности
- •5.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •5.1.1. Условия возрастания и убывания функции
- •5.1.2. Точки экстремума функции, необходимое условие экстремума
- •5.1.6. Второй способ исследования функции на экстремум
- •5.1.7. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •5.1.8. Выпуклость, вогнутость графика функции
- •5.1.9. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие перегиба.
- •5.1.10. Исследование функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба
- •5.1.11. Асимптоты графика функции
- •5.1.12. Общая схема исследования функции
- •5.2. Контрольные вопросы
- •Тема 6. Исследование функций двух переменных
- •6.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •6.1.1. Экстремумы функции двух переменных, необходимое условие экстремума
- •6.1.2. Достаточные условия экстремума
- •6.2. Контрольные вопросы
- •6.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •Раздел. I. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
- •Тема 1. Элементы теории множеств. Понятие функции
- •1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •1.1.1. Элементы теории множеств
- •1.1.2. Операции над множествами
- •1.1.3. Отображение множеств. Мощность множества.
- •1.1.4. Употребление математической символики. Кванторы общности, существования и единственности
- •1.1.5. Числовые множества
- •1.1.7. Окрестность точки
- •1.1.8. Понятие функции
- •1.1.9. Элементарные функции, свойства функции
- •1.1.10. Четность, нечетность.
- •1.2. Контрольные вопросы
- •Тема 2. Теория пределов
- •2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •2.1.1. Числовая последовательность
- •2.1.2. Предел числовой последовательности
- •2.1.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •2.1.4. Предел функции
- •2.1.5. Сравнение бесконечно малых функций
- •2.1.6. Замечательные пределы
- •2.2. Контрольные вопросы
- •Тема 3. Предел и непрерывность функции
- •3.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •3.1.1. Односторонние пределы
- •3.1.2. Необходимое и достаточное условие существования предела
- •3.1.3. Непрерывность функции
- •3.1.4. Точки разрыва и их классификация
- •3.1.5. Свойства непрерывных функций
- •3.2. Контрольные вопросы
- •3.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •Раздел. III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
- •Тема 7. Решение задач на нахождение неопределенных интегралов. Нахождение неопределенных интегралов различными методами
- •7.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •7.1.1. Неопределенный интеграл
- •7.1.2. Свойства неопределенного интеграла
- •7.1.3. Таблица интегралов
- •7.1.4. Метод интегрирования по частям
- •7.1.5. Рациональные дроби
- •7.1.6. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •7.1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •7.1.8. Метод замены переменной (метод подстановки)
- •7.1.9. Интегрирование иррациональных выражений
- •7.2. Контрольные вопросы
- •Тема 8. Вычисление определенных интегралов. Приложения определенного интеграла. Исследование сходимости несобственных интегралов
- •8.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •8.1.1. Определение определенного интеграла
- •8.1.2. Свойства определенного интеграла:
- •8.1.3. Вычисление определенного интеграла, физические приложения определенного интеграла
- •8.1.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •8.1.5. Формула замены переменной в определенном интеграле
- •8.1.6. Приложения определенного интеграла
- •8.1.7. Площадь плоской фигуры
- •8.1.8. Объем тела вращения
- •8.2. Контрольные вопросы
- •8.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
|
∂z |
= 0 |
|
∂x |
|
|
P1 (x1, y1 ), ...– |
|
|
∂z |
|
|
= 0 |
|
|
∂y |
|
|
|
|
критические точки. |
|
|
|
∂2 z |
|
∂2 z |
|
∂2 z |
|||
2. Найти частные производные |
, |
, |
|||||||||
∂x2 |
∂y2 |
∂x ∂y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂2 z |
|
∂2 z |
|
∂2 z 2 |
|
|
||||
и составить выражение = |
∂x2 |
|
∂y2 |
− |
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
∂x ∂y |
|
|
|||||||
По знаку в критических точках найти точки экстремума.
3.Найти значения функции в точках экстремума.
6.2.Контрольные вопросы
1)Дайте определение функции двух переменных.
2)Что является графиком функции двух переменных?
3)Что называется областью определения функции двух переменных?
4)Что называется линией уровня функции z = f (x, y)?
5)Что называется частной производной функцииz = f (x, y) по переменной
x, по переменной y ?
6)Дайте определение полного дифференциала функции двух переменных.
7)Как определяются производные второго порядка? Какие производные называются смешанными?
8)Дайте определение производной функции по направлению.
9) |
Как можно задать направление ? |
10) |
Запишите формулу для вычисления производной по направлению. |
11) |
Чему равны максимальное и минимальное значения производной по на- |
правлению? |
|
12) |
Запишите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, |
заданной неявно F (x, y, z)= 0 .
13)Дайте определение точки минимума и точки максимума функции двух переменных.
14)Сформулируйте необходимое условие экстремума функции. Будет ли это условие достаточным?
15)Дайте определение критических точек. Как их найти?
16)Сформулируйте достаточное условие экстремума функции.
17)Приведите схему исследования функции на экстремум.
43
6.3. Практическое задание для самостоятельной работы
Провести полное исследование функций.
1. |
y = |
|
|
x |
|
2. |
y = |
|
x3 − 4 |
|
|
|
|
3. |
y = |
|
|
x2 − 4 |
|
|
4. |
y = |
|
x4 |
+ x3 |
|||||||||
x2 |
−9 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||
5. |
y = |
|
x3 |
6. |
y = |
|
x3 |
7. |
y = |
|
|
4x −1 |
8. |
y = |
2x3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x − 2)2 |
|
|
|
4 − x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x2 − 4 |
|
|
|
|
x2 −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
9. |
y = |
x2 |
−5 |
|
10. |
y = |
|
2x2 |
|
11. |
y = |
|
|
2 − 4x2 |
12. |
y = |
|
|
2x2 + 7x − 4 |
|||||||||||||||
x |
−3 |
|
x +1 |
|
1 − 4x2 |
|
|
|
2x2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
13. |
y = |
|
|
x −1 |
14. |
y = |
x2 |
−5 |
15. |
y = |
|
|
|
x |
|
|
16. |
y = |
32 −x3 |
|||||||||||||||
x |
2 |
− 2x −8 |
|
|
x |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 −9 |
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
17. |
y = |
x2 |
+ 4 |
|
|
18. |
y = |
|
|
|
x3 |
19. |
y = |
|
|
|
x |
20. |
y = |
|
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2(x +1)2 |
|
|
1 − x2 |
|
|
x2 − 25 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
21. |
y = |
(x −1)3 − 4 |
22. |
y = |
|
|
x3 |
|
23. |
y = |
|
(x +1)4 |
+ x3 + 3x2 + 3x +1 |
|||||||||||||||||||||
|
(x −1)2 |
|
x2 |
− 25 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
24. |
y = |
4x2 − 4 |
25. |
y = |
|
|
x3 |
|
26. |
y = |
|
|
|
x3 |
27. |
y = |
|
|
8x3 −32 |
|||||||||||||||
|
|
2x |
|
x2 |
− 4x |
|
(x + 3)2 |
|
|
|
4x2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
28. |
y = |
2x −1 |
29. |
y = |
|
x2 |
−36 |
30. |
y = |
|
|
x3 |
31. |
y = x4 |
− x3 |
|||||||||||||||||||
1 − x2 |
|
|
x |
|
x2 − 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
44