Замечание. Первый замечательный предел раскрывает неопределенность вида (0 0 ). Из него вытекают следующие формулы:
lim |
x |
=1, lim tg x |
|
=1, lim |
x |
=1. |
|||
|
|
||||||||
x→0 sin x |
x→0 |
x |
|
|
|
x→0 tg x |
|
||
Второй замечательный предел |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
lim 1 |
+ 1 |
x |
= e . |
|
|||
|
|
x→∞ |
x |
|
|
|
|||
Замечание. Второй замечательный предел раскрывает неопределенность |
|||||||||
вида (1∞ ) и имеет еще другую форму: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
lim (1 + x) |
|
|
= e . |
|
|||
|
|
x |
|
||||||
x→0
Число e является иррациональным числом ( e ≈ 2,718281... ).
Особую роль в математическом анализе имеют показательная и логариф-
мическая функции с основанием e , то есть y = ex и y = loge x .
Натуральным логарифмом числа x называется логарифм по основанию e . Обозначается: ln x = loge x .
2.2.Контрольные вопросы
1)Что называется последовательностью?
2)Дать определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей.
3)Какая последовательность называется сходящейся, что называется пределом последовательности?
4)Дать определение предела функции на бесконечности.
5)Дать определение окрестности точки.
6)Дать определение предела функции в точке.
7)Сформулировать свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
8)Запишите первый замечательный предел и его разновидности. Какую неопределенность раскрывает этот предел?
9)Запишите второй замечательный предел и его вторую форму. Какую неопределенность раскрывает этот предел?
10)Как определяется число e? Чему оно равно? Как называется и обозначается логарифм по основанию e?
17