Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МатАн_ЛинАлг_080100 / ЗаданияСР_МА_080100.pdf
Скачиваний:
40
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
690.03 Кб
Скачать

1.2.Контрольные вопросы

1)Что называется множеством?

2)Что называется пересечением множеств?

3)Что называется объединением множеств?

4)Что называется разностью множеств?

5)Назовите виды числовых множеств?

6)Какие подмножества множества действительных чисел вы знаете?

7)Что такое окрестность точки?

8)Что называется функцией, областью определения функции, областью значений функции?

9)Какие функции называются основными элементарными функциями?

10)Дайте определение следующих свойств функции: четность, нечетность; периодичность, ограниченность, приведите примеры.

11)Что называется графиком функции?

Тема 2. Теория пределов

2.1. Вопросы для самостоятельного изучения

2.1.1. Числовая последовательность

Числовой последовательностью называется функция, которая опреде-

лена на множестве натуральных чисел и обозначается yn = f (n), n .

Определенная таким образом функция каждому натуральному числу n ставит в соответствие действительное число yn . Числовая последовательность записывается в виде: y1, y2 , y3 ,..., yn ,..., или кратко: yn .

Числа y1, y2 , y3 ,..., yn ,...

 

называются членами последовательности, yn

общим, или n членом последовательности.

Примеры.

1

 

, или yn : 1

 

1 ,

1 ,...,

1

 

 

1. yn =

 

 

,

 

,...

n +1

n +1

 

2

 

3

4

 

2.yn = (1)n +1, или yn : 0,2,0,2,...

3.y1 = a1, yn = yn1 + d – арифметическая прогрессия.

Числовая последовательность может быть задана формулой общего члена yn (примеры 1, 2) или рекуррентной формулой (пример 3).

14

2.1.2. Предел числовой последовательности

 

Число a называется пределом числовой последовательности yn ,

если

для любого положительного числа ε существует номер N , после которого вы-

полняется неравенство

 

yn a

 

< ε. Обозначается: lim yn = a (или yn a

при

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

n → ∞).

В этом случае говорят, что последовательность yn сходится к a, или име-

ет конечный предел. Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая конечного предела, назы-

вается расходящейся.

2.1.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция α(x) называется бесконечно малой функцией при x → +∞, ес-

ли для любого ε > 0 существует число M > 0 такое, что при всех x > M выпол-

няется неравенство α(x) < ε.

Функция α(x) называется бесконечно малой функцией при x a , если для любого ε > 0 существует проколотая окрестность Uar точки a , в которой выполняется неравенство α(x) < ε.

Свойства бесконечно малых функций

1.α(x) и β(x) – б.м.ф. α(x)±β(x) – б.м.ф.

2.α(x) – б.м.ф., f (x) – ограниченная α(x) f (x) – б.м.ф.

3.α(x) и β(x) – б.м.ф. α(x) β(x) – б.м.ф.

4.α(x) – постоянная б.м.ф. α(x)= 0 .

Функция f (x) называется бесконечно большой функцией при x → ∞,

если для любого числа A > 0 существует число M > 0 такое, что для всех x > M выполняется неравенство f (x) > A.

15

Функция f (x) называется бесконечно большой функцией при x a ,

если для любого числа A > 0 существует проколотая окрестность Uar точки a , в

которой выполняется неравенство f (x) > A.

Функция y=f (x) называется ограниченной на интервале, если существу-

ет число C > 0 такое, что для всех x из этого интервала выполняется неравен-

ство f (x) C .

2.1.4. Предел функции

Число b = lim f (x) называется пределом функции f (x) на бесконеч-

x→+∞

ности ( x → +∞), если f (x)=b + α(x), где α(x) – б.м.ф. при x → +∞.

Число b называется пределом функции f (x) при x a , если разность f (x)b является б.м.ф. при x a .

2.1.5. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть существует предел отношения б.м.ф. α(x) и β(x) при x a

( x →∞).

Б.м.ф. α(x) называется б.м.ф. более высокого порядка малости, чем

б.м.ф. β(x), если lim α((x)) = 0 .

xa β x

(x→∞)

 

Б.м.ф. α(x) и β(x) называется б.м.ф. одного порядка малости, если

lim

α(x)

= C , C = const 0 . В частности, если C =1, то α(x) и β(x) называ-

β(x)

xa

 

(x→∞)

 

 

ются эквивалентными б.м.ф.

2.1.6. Замечательные пределы

Первый замечательный предел

lim sin x =1.

x0 x

16