Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МатАн_ЛинАлг_080100 / ЗаданияСР_МА_080100.pdf
Скачиваний:
40
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
690.03 Кб
Скачать

Приближенное значение функции

y = f (x) в точке x0 + x находится,

исходя из равенства y dy , по формуле

 

 

f (x + x)= f (x

)+ f (x

) x .

0

0

0

 

4.2.Контрольные вопросы

1)Сформулируйте определение производной функции в точке.

2)В чем заключается правило дифференцирования по шагам?

3)В чем состоит физический смысл производной?

4)В чем состоит геометрический смысл производной?

5) Запишите уравнения касательной и нормали к графику функции y = f (x) в точке M (x0 , y0 ).

6)Сформулируйте определение сложной функции.

7)Запишите формулу производной сложной функции, состоящей:

8)а) из двух звеньев, б) из трех звеньев.

9)В чем состоит метод логарифмического дифференцирования?

10)Что называется производной второго порядка и как она обозначается?

11)Что называется производной n-го порядка?

12)В чем состоит механический смысл производной второго порядка?

13)Дайте определение дифференциала функции.

14)По какой формуле находится приближенное значение функции?

15)В чем состоит правило Лопиталя вычисления пределов и какие неопределенности оно раскрывает?

4.3. Практическое задание для самостоятельной работы

Задание содержит 6 задач. Каждая задача имеется в 35 вариантах. Номер задачи состоит из двух чисел: первое число – порядковый номер задачи, второе число – номер варианта.

Студент решает ту задачу, номер варианта которой совпадает с его номером по списку в журнале, подставляя значение параметра k =1, 2, 3, ... – сумма последних двух цифр номера группы.

Задача 1.

Найти yи значение y(x0 ) функции y = y(x) в точке x0 =1.

Варианты

 

k

4

 

k2

 

k+1

 

3

 

 

xk

1

 

 

1

 

1.1. y =

2 x

 

+ 3x

 

+

 

x

 

+ 4 ;

1.2. y =

 

+

 

+ 3 xk+1

+

2

;

 

 

 

 

3

kx3

26

1.3. y =

1

x

k

+ 7x

k5

+

x

k

+1;

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5.y = k +k 2 x5 kx1k + 3 x2 + 2 ;

1.7.y = 13 xk3 + kx2 + k+1 x7 +1;

1.9. y = k2 x5

 

7k

 

 

 

k+1 x3 + 3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

xk+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.11. y =

x

5

2x

k

 

+

 

k+2

x

7

+ 3;

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.13. y =

1

 

x3 + 5xk2 +

 

 

 

xk

+ 2 ;

k2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.15. y = k2

xk

 

+ xk+2 + 4 xk

 

+ 5 ;

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.17. y =

1

x

k+1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

+

 

k+3

 

x

k

7 ;

4

 

 

 

 

 

 

xk+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.19. y =

3

x

k+3

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

+ 7

3

 

x

k

 

5 ;

2

 

 

 

 

 

xk+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.21. y =

xk

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4 xk

1;

 

 

 

(k

 

+ 2)x4

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.23. y =

k +1

 

x

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

+

k

 

x

3

+ 4 ;

k + 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kxk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.25. y =

1

x

k1

 

 

 

+ kx

k

 

+

 

k

 

x

6

 

1;

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.27. y =

4

x

k+2

 

+

 

 

1

 

 

 

 

+

k

x

5

 

1;

1

 

 

 

 

 

 

kx3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.29. y =

3

x

k

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

+ 4

7

x

k

 

+ 2 ;

2

 

 

xk+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.31. y =

xk+2

 

+

 

 

 

 

1

 

 

 

 

+ 4

 

xk+1 + 2 ;

 

 

 

 

kx5

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.33. y =

2

x

4k

 

1

 

 

 

 

 

+

 

k+3

x

4

 

7 ;

3

 

 

 

kxk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.35. y = xk+2

 

 

 

1

+ k

 

x 1.

 

 

 

 

 

 

 

kx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4. y =

7

x

k

2

 

+

k+2

x

k+1

+ 2 ;

k

 

 

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6. y =

k2

x

k

+

1

 

x

k+1

+

3

x

4

+ 7 ;

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.8. y =

3 xk+1

+

 

 

 

1

 

+ k+1 x3 + 2 ;

kxk+2

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.10. y =

2

x

k+2

 

 

 

 

5

 

 

 

+

3

3

 

x

k2

+1;

5

 

 

 

 

 

 

xk

+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.12. y =

xk

 

+

 

 

1

 

 

 

 

+ 3 xk+2

 

+

1

;

 

2

kx3

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.14. y =

1 x3

 

 

1

 

 

 

+ k+1 x4

 

 

+ 3 ;

 

 

3xk

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.16. y = xk + 4xk+3 + k+1 x5

 

2 ;

 

1.18. y =

1

x

k

+

 

 

 

 

1

 

 

 

 

+

k+2

x

5

 

3;

4

 

 

3xk+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.20. y = x3k 7xk3 + k+1 x8

 

+ 2;

 

1.22. y =

1

x

k+5

+ 5x

k

+

 

 

 

x

k

 

+ 3;

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.24. y =

k2

x

k

 

+

 

1

 

x

k

 

+

 

3

 

x

k

 

+ 2 ;

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.26. y =

5

x

k+2

 

 

 

 

 

3

 

 

+

k+4

 

x

k

 

+ 3;

3

 

 

 

 

 

 

xk+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5k

 

 

 

3k

+

 

 

 

 

 

 

1.28. y = k2 xk+2

 

 

 

 

 

1 xk + 3 ;

xk+2

 

 

 

 

1.30. y =

k + 2

x

4

3x

k

+

 

 

k

 

 

x

6

1;

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.32. y =

1

 

xk

2xk1 +

 

 

 

 

xk

7 ;

k2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.34. y =

k

x

k

 

2

x

k+1

 

+

4

 

x

k

 

+1;

3

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

Задача 2.

Найти производную произведения функций.

Варианты

2.1. y = (xk k tg x) log3 x ;

2.3.y = k 3ln x + 1 ex ctg x ;

k

 

k

 

ctg x ;

2.5. y = k

x

+ ln x

 

 

 

2.7. y =(kx2 2ex + k3 ) ctg x ;

2.9. y = logk+1 x(1 k tg x + 3ex ); 2.11. y = kex (1 kxk+2 + 2sin x);

2.13. y = 2 2kx + log3 x tg x ;

2.15.(k +1)

x

1

tg x

k

 

 

;

1 +

k

2

x

 

 

 

 

 

2.17. y =(k +1)x (k tg x 23 x );

 

2.19. y =(xk+1 + 3

x cos x)ex ;

 

 

kex +

1

 

 

;

2.21. y = cos x k

k

ln x

 

 

 

 

 

 

 

2.23. y = 4x (3 k cos x + 3

 

x );

 

2.25.y =sin x(k k2ex + log2 x);

2.27.y = kx (5ctg x k log5 x 1);

2.29.y =(k +1)ex (k + 3x sin x);

 

1

 

;

2.31. y =sin x k kex +

k

ln x

 

 

 

2.33. y = kx (k ctg x 3logk+2 x k2 ); 2.35. y =(k + 2)ex (3 + kxk+3 3cos x).

2.2. y = kex (1 kx + cos x);

2.4. y =(k +1)x (1 k sin x + k x ); 2.6. y = kx (k tg x 2ln x + k2 );

2.8. y =(xk k ctg x) logk+1 x ; 2.10. y =(xk + k ctg x) log4 x ; 2.12. y =(xk 2 x + sin x) ex ;

k

x

2

+ 3e

x

k

2

 

tg x ;

2.14. y =

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x

 

2.16. y = ln x

2

+

 

 

ctg x + 2e

 

;

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.18.y = cos x(k2 + kex + 2ln x);

2.20.y =(4 k ln x + (k +1)x ) tg x ;

2.22.y = (k x + k2 sin x +1) log3 x ;

2.24. y = k k x+1 + logk+2 x tg x ; 2.26. y =( x + k3 cos x +1) log3 x ;

2.28.y = logk+1 x(k 2ctg x + 7x );

2.30.y = 2 k log3 x 1 ex tg x ;

k

2.32. y =(k 3 x + k2 cos x 2) ln x ;

2.34. y =(xk + k tg x) logk+1 x ;

28

Задача 3.

Найти производную частного функций.

3.1. y = kx2 logk+1 x ; sin x + 2

3.3.

y =

k cos x + x 1

;

ex

 

 

 

3.5. y = k2 logk+2 x 2x + k ; cos x

3.7. y = k ln x + x2 ; sin x

3.9. y = (k +1)x kx + sin x ; logk+1 x

3.11.y = k logk+1 x k2 ;

xk + 2

3.13. y =

(k +1)x x + k2

;

logk+1 x

 

 

3.15. y = (k + 2)x kex ; ctg x

3.17. y = kex sin x kx2 ; logk+1 x

3.19. y =

 

k ln x xk

;

 

 

 

 

 

ctg x k2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.21. y =

 

kx3 + ln x

;

 

 

 

 

 

2cos x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.23. y =

 

k sin x + x +1

;

 

 

ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.25. y =

k2 logk+1 x + 3x k

;

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.27. y =

 

k logk+2 x 2x

;

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варианты

3.2. y = k2ex 1 ; tg x

3.4. y = (k +1)x + k sin x ; ln x

3.6. y = k sin x + xk ; logk+2 x

3.8. y = k2ex + logk+1 x ; tg x

3.10. y = k tg x xk k ;

2cos x

3.12. y = 2k cos x logk+1 x ; k2 + tg x

3.14. y = 3 kex + 2sin x ;

(k +1)x 1

3.16. y = k tg x (k +1)x ; cos x + k

3.18.y = 2k (k +1)x + 2 tg x ;

xk 1

3.20. y = k cos x 3

x k

;

 

 

2sin x (k +1)x

 

3.22.

y =

k2ex 2

;

 

 

 

ctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.24.

y =

(k + 2)x k cos x

;

 

logk+2 x

 

 

 

 

3.26.

y =

xk k cos x

;

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

2ex

 

3.28. y =

log

k+1

x k

 

 

 

 

 

;

 

 

ctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

29

3.29. y =

cos x + kx (k +1)x

 

;

3.30.

y = k +1 xk + k ctg x

;

 

 

 

 

 

 

 

ln x + k

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

3.31. y =

2k2

3logk+2

x

;

 

 

 

3.32.

y =

2logk+2

x + k sin x

 

;

 

 

 

ctg x k2

 

 

xk 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.33. y =

k3 +

x (k +1)x

;

3.34.

y =

2 + kex

3cos x ;

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k + 2)x + 2

 

3.35. y =

ex

+ kxk+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.

Найти производную сложной функции.

 

 

Варианты

 

 

4.1. y = arcsin kx + k cosln x ;

4.2. y = cosk+1 x ln (ex + k );

4.3. y = arctgk+1 x + sin (kx +1);

4.4. y = ekx k tgln x;

4.5. y = k arccos 1 (sin x + k )3 ;

4.6. y =

cos x arctg(kex );

 

x

4.8. y = ln (cos x + k )arcctgk+1 x ;

4.7. y = ek ln x+1 arcsin kx ;

4.9. y = (logk+1 x +1)2 ek tg x ;

4.10. y =

1 + arctg x ek cos x ;

4.11. y = arcsink+2 x k tg(ex );

4.12. y = ln (k tg x + k2 )cosk+1 x ;

4.13. y =(k +1)sin x ln (k + x2 );

4.14. y =(k3 + tg x)3 ek arcsin x ;

4.15. y =(2k )tg x ln (1 xk );

4.16. y = arctg (kx)+ k2 tg ex ;

4.17. y = ctgk+3 x ek arctg x ;

4.18. y =(1 xk )3 arcsin (kex );

4.19. y =

tg x + arctg(ekx );

4.20. y = (k + sin x)3 1 tg x ;

4.21. y = k ln tg x e2kx ;

4.22. y = arccos3kx k sin ln x ;

4.23. y =(ln x k )3 + ek ctg x ;

4.24. y =sink+1 x + logk+1 (kex );

4.25. y =(xk 2)3 + ek arcsin x ;

4.26. y = arcctgk+1 x cos(2 kx);

4.27. y =

1 arcctg x + ek sin x ;

4.28. y = k arcsin

1 (sin x 2)2 ;

 

 

 

 

x

4.29. y = arccosk+1 x + k ctg(ex );

4.30. y =(3k )ctg x

+ logk+2 (xk +1);

4.31. y =(ctg x k2 )3 + ek arccos x ;

4.32. y = tg2k x + ek arcsin x ;

 

 

30

 

 

4.33. y = arcctg3kx k3 sin ex ;

4.34. y =(k cos x)2 + ctg x 2 ;

4.35. y =(1 + arctg x)k+1 k logk+1 (sin x).

 

 

 

 

 

 

Задача 5.

 

 

Найти производную сложной функции.

 

 

 

 

 

 

Варианты

 

5.1.

y = tg (k + ex );

5.2.

y = ctg(ekx );

5.3.

y = arctgk+1 (sin x +1);

5.4.

y = tg (k ln sin x);

5.5.

y = ek tg(kx);

 

 

5.6.

y =sink+1 (kx +1);

5.7.

y = tg

k ekx ;

5.8.

y =(k + earctg x )k+1 ;

5.9.

y = cos3 (1 ln kx);

5.10. y = ln arctg k+1 x ;

5.11. y = (k + 2)sin 2kx ;

5.12. y = cos(k ln x );

5.13. y = 2arctg 3kx ;

)

 

5.14. y = sink+2 (ln x +1);

 

(

 

 

5.16. y = k+11 tg(1 + kx);

5.15. y = ln 1 + e2kx

 

;

5.17. y = arcctgk+1

x ;

5.18. y = ln (k + esin x );

5.19. y = ln arccos(kx);

5.20. y = esink +1 x ;

5.21. y = arcsin2 (k + ex );

5.22. y = arcsink+1 (tg x 1);

5.23. y =sin (k + ln tg x);

5.24. y = ln arctg (ex k );

5.25. y = ek ctg(kx);

 

 

5.26. y = tgk+2 (2 kx);

5.27. y = ctg

ekx + k ;

5.28. y =(5k earcsin x )k+1;

5.29. y = tg2 (2 logk+2 (x 2));

5.30. y = ln arcsin k+1 x ;

5.31. y =(k + 2)cos kx ;

5.32. y = tg(3 ln x + k );

5.33. y = 3arcsin 2kx ;

 

 

5.34. y = tgk+1 (logk+2 x 2);

5.35. y = logk+1 (1 ekx ).

 

 

31

Задача 6.

Найти уравнения нормали и касательной к графику функции y = f (x) в

точке x0 .

Варианты

6.1.f (x) = kx3 x2 + k, x0 = −1;

6.3.f (x) = 2x kx2 + x3 , x0 = 2 ;

6.5.f (x) = x4 kx2 + 3, x0 = −1;

6.7. f (x) = 2x2 kx + x3 , x0 = 2 ;

6.9. f (x) = kx x3 + 2k, x0 = 0 ;

6.11. f (x)= k2 x x3 + k3 , x0 =1;

6.13. f (x)=3 kx + k2 x3 , x0 = 0 ;

6.15. f (x)=3kx2 k3 + 2k, x0 =1;

6.17. f (x)= kx k2 x4 + 3, x0 = −1;

6.19. f (x)= 7 kx2 kx3 , x0 = 2 ;

6.21.f (x)= k2 x3 + x2 1, x0 =1;

6.23.f (x)= kx2 2x + x3 , x0 = −2 ;

6.25.f (x)= x4 + kx3 + 2x , x0 = −1;

6.2.

6.4.

6.6.

6.8.

6.10.

6.12

6.14.

6.16.

6.18.

6.20.

6.22.

6.24.

6.26.

32

f (x) = 2k x4 + kx,

x0 =1;

f (x) = kx3 kx + 4,

x0 = 0 ;

f (x) = k + kx x3 ,

x0 = −1;

f (x) = k2 kx3 x4 ,

x0 =1;

f (x) =(k + 2)x2 3k + x4 ,

x0 = −1;

f (x)= k2 x k2 + x3 , x0 = 2 ;

f (x)=(2 k )x2 + x3 3k,

x0 = −2 ;

f (x)= x4 kx3 + k2 ,

x0 =1;

f (x)= 2kx2 kx3 + 3,

x0 = −1;

f (x)=(1 k )x3 k2 x2 +1,

x0 = 2 ;

f (x)=3k + 2x3 kx ,

x0 = −1;

f (x)= −kx3 + 2kx 1,

x0 =1;

f (x)= k kx + x2 , x0 =1;