- •ЗАДАНИЯ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
- •080100.62 Экономика
- •Раздел. II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
- •Тема 4. Вычисление производных
- •4.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •4.1.1. Производная функции
- •4.1.2. Правило дифференцирования по шагам
- •4.1.3. Геометрический смысл производной.
- •4.1.4. Правила и формулы дифференцирования
- •4.1.5. Таблица производных:
- •4.1.6. Производная сложной функции
- •4.1.7. Логарифмическое дифференцирование
- •4.1.8. Производные высших порядков
- •4.1.9. Дифференциал функции, его свойства
- •4.2. Контрольные вопросы
- •4.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •Тема 5. Исследование функций на экстремумы и интервалы монотонности
- •5.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •5.1.1. Условия возрастания и убывания функции
- •5.1.2. Точки экстремума функции, необходимое условие экстремума
- •5.1.6. Второй способ исследования функции на экстремум
- •5.1.7. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •5.1.8. Выпуклость, вогнутость графика функции
- •5.1.9. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие перегиба.
- •5.1.10. Исследование функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба
- •5.1.11. Асимптоты графика функции
- •5.1.12. Общая схема исследования функции
- •5.2. Контрольные вопросы
- •Тема 6. Исследование функций двух переменных
- •6.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •6.1.1. Экстремумы функции двух переменных, необходимое условие экстремума
- •6.1.2. Достаточные условия экстремума
- •6.2. Контрольные вопросы
- •6.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •Раздел. I. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
- •Тема 1. Элементы теории множеств. Понятие функции
- •1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •1.1.1. Элементы теории множеств
- •1.1.2. Операции над множествами
- •1.1.3. Отображение множеств. Мощность множества.
- •1.1.4. Употребление математической символики. Кванторы общности, существования и единственности
- •1.1.5. Числовые множества
- •1.1.7. Окрестность точки
- •1.1.8. Понятие функции
- •1.1.9. Элементарные функции, свойства функции
- •1.1.10. Четность, нечетность.
- •1.2. Контрольные вопросы
- •Тема 2. Теория пределов
- •2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •2.1.1. Числовая последовательность
- •2.1.2. Предел числовой последовательности
- •2.1.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •2.1.4. Предел функции
- •2.1.5. Сравнение бесконечно малых функций
- •2.1.6. Замечательные пределы
- •2.2. Контрольные вопросы
- •Тема 3. Предел и непрерывность функции
- •3.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •3.1.1. Односторонние пределы
- •3.1.2. Необходимое и достаточное условие существования предела
- •3.1.3. Непрерывность функции
- •3.1.4. Точки разрыва и их классификация
- •3.1.5. Свойства непрерывных функций
- •3.2. Контрольные вопросы
- •3.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •Раздел. III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
- •Тема 7. Решение задач на нахождение неопределенных интегралов. Нахождение неопределенных интегралов различными методами
- •7.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •7.1.1. Неопределенный интеграл
- •7.1.2. Свойства неопределенного интеграла
- •7.1.3. Таблица интегралов
- •7.1.4. Метод интегрирования по частям
- •7.1.5. Рациональные дроби
- •7.1.6. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •7.1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •7.1.8. Метод замены переменной (метод подстановки)
- •7.1.9. Интегрирование иррациональных выражений
- •7.2. Контрольные вопросы
- •Тема 8. Вычисление определенных интегралов. Приложения определенного интеграла. Исследование сходимости несобственных интегралов
- •8.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •8.1.1. Определение определенного интеграла
- •8.1.2. Свойства определенного интеграла:
- •8.1.3. Вычисление определенного интеграла, физические приложения определенного интеграла
- •8.1.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •8.1.5. Формула замены переменной в определенном интеграле
- •8.1.6. Приложения определенного интеграла
- •8.1.7. Площадь плоской фигуры
- •8.1.8. Объем тела вращения
- •8.2. Контрольные вопросы
- •8.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Приближенное значение функции |
y = f (x) в точке x0 + x находится, |
||
исходя из равенства y ≈ dy , по формуле |
|
|
|
f (x + x)= f (x |
)+ f ′(x |
) x . |
|
0 |
0 |
0 |
|
4.2.Контрольные вопросы
1)Сформулируйте определение производной функции в точке.
2)В чем заключается правило дифференцирования по шагам?
3)В чем состоит физический смысл производной?
4)В чем состоит геометрический смысл производной?
5) Запишите уравнения касательной и нормали к графику функции y = f (x) в точке M (x0 , y0 ).
6)Сформулируйте определение сложной функции.
7)Запишите формулу производной сложной функции, состоящей:
8)а) из двух звеньев, б) из трех звеньев.
9)В чем состоит метод логарифмического дифференцирования?
10)Что называется производной второго порядка и как она обозначается?
11)Что называется производной n-го порядка?
12)В чем состоит механический смысл производной второго порядка?
13)Дайте определение дифференциала функции.
14)По какой формуле находится приближенное значение функции?
15)В чем состоит правило Лопиталя вычисления пределов и какие неопределенности оно раскрывает?
4.3. Практическое задание для самостоятельной работы
Задание содержит 6 задач. Каждая задача имеется в 35 вариантах. Номер задачи состоит из двух чисел: первое число – порядковый номер задачи, второе число – номер варианта.
Студент решает ту задачу, номер варианта которой совпадает с его номером по списку в журнале, подставляя значение параметра k =1, 2, 3, ... – сумма последних двух цифр номера группы.
Задача 1.
Найти y′ и значение y′(x0 ) функции y = y(x) в точке x0 =1.
Варианты
|
k |
4 |
|
−k−2 |
|
k+1 |
|
3 |
|
|
xk |
1 |
|
|
1 |
|
|
1.1. y = |
2 x |
|
+ 3x |
|
+ |
|
x |
|
+ 4 ; |
1.2. y = |
|
+ |
|
+ 3 xk+1 |
+ |
2 |
; |
|
|
|
|
3 |
kx3 |
26
1.3. y = |
1 |
x |
k |
+ 7x |
−k−5 |
+ |
x |
−k |
+1; |
k |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5.y = k +k 2 x5 − kx1k + 3 x2 + 2 ;
1.7.y = 13 x−k−3 + kx2 + k+1 x7 +1;
1.9. y = k2 x5 − |
|
7k |
|
|
|
− k+1 x3 + 3 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
xk+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.11. y = |
x |
5 |
− 2x |
−k |
|
+ |
|
k+2 |
x |
7 |
+ 3; |
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.13. y = |
1 |
|
x3 + 5x−k−2 + |
|
|
|
x−k |
+ 2 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
k2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.15. y = k2 |
x−k |
|
+ xk+2 + 4 x−k |
|
+ 5 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.17. y = |
1 |
x |
k+1 |
− |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
+ |
|
k+3 |
|
x |
k |
− 7 ; |
||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
xk+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1.19. y = |
3 |
x |
k+3 |
− |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
+ 7 |
3 |
|
x |
−k |
|
− 5 ; |
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
xk+1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1.21. y = |
xk |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4 xk |
−1; |
|||||||||||||
|
|
|
(k |
|
+ 2)x4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1.23. y = |
k +1 |
|
x |
3 |
|
− |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+ |
k |
|
x |
3 |
+ 4 ; |
||||||||||||||||||||
k + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kxk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1.25. y = |
1 |
x |
−k−1 |
|
|
|
+ kx |
k |
|
+ |
|
k |
|
x |
6 |
|
−1; |
|||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.27. y = |
4 |
x |
k+2 |
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
k |
x |
5 |
|
−1; |
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
kx3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1.29. y = |
3 |
x |
k |
− |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
+ 4 |
7 |
x |
−k |
|
+ 2 ; |
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
xk+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.31. y = |
xk+2 |
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ 4 |
|
xk+1 + 2 ; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
kx5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1.33. y = |
2 |
x |
4k |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
k+3 |
x |
4 |
|
− 7 ; |
||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
kxk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1.35. y = xk+2 − |
|
|
|
1 |
+ k |
|
x −1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
kx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4. y = |
7 |
x |
k |
− |
2 |
|
+ |
k+2 |
x |
k+1 |
+ 2 ; |
|||||||||
k |
|
|
xk |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.6. y = |
k2 |
x |
−k |
+ |
1 |
|
x |
k+1 |
+ |
3 |
x |
−4 |
+ 7 ; |
|||||||
3 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.8. y = |
3 xk+1 |
+ |
|
|
|
1 |
|
+ k+1 x3 + 2 ; |
||||||||||||
kxk+2 |
||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.10. y = |
2 |
x |
k+2 |
|
− |
|
|
|
5 |
|
|
|
+ |
3 |
3 |
|
x |
−k−2 |
+1; |
||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
xk |
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.12. y = |
xk |
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
+ 3 xk+2 |
|
+ |
1 |
; |
|
|||||||||||||||||||
2 |
kx3 |
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1.14. y = |
1 x3 − |
|
|
1 |
|
|
|
+ k+1 x4 |
|
|
+ 3 ; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
3xk |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.16. y = x−k + 4xk+3 + k+1 x5 |
|
− 2 ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1.18. y = |
1 |
x |
k |
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
k+2 |
x |
5 |
|
− 3; |
||||||||||||||||
4 |
|
|
3xk+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1.20. y = x3k − 7x−k−3 + k+1 x8 |
|
+ 2; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1.22. y = |
1 |
x |
k+5 |
+ 5x |
−k |
+ |
|
|
|
x |
−k |
|
+ 3; |
|
|||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.24. y = |
k2 |
x |
−k |
|
+ |
|
1 |
|
x |
k |
|
+ |
|
3 |
|
x |
−k |
|
+ 2 ; |
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.26. y = |
5 |
x |
k+2 |
|
− |
|
|
|
|
3 |
|
|
+ |
k+4 |
|
x |
k |
|
+ 3; |
||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
xk+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5k |
|
|
|
− 3k |
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.28. y = k2 xk+2 − |
|
|
|
|
|
1 xk + 3 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||
xk+2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1.30. y = |
k + 2 |
x |
4 |
−3x |
−k |
+ |
|
|
k |
|
|
x |
6 |
−1; |
|||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.32. y = |
1 |
|
xk |
− 2x−k−1 + |
|
|
|
|
x−k |
− 7 ; |
|||||||||||||||||||||||||
k2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.34. y = |
k |
x |
−k |
|
− |
2 |
x |
k+1 |
|
+ |
4 |
|
x |
−k |
|
+1; |
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
Задача 2.
Найти производную произведения функций.
Варианты
2.1. y = (xk − k tg x) log3 x ;
2.3.y = k −3ln x + 1 ex ctg x ;
k
|
k |
|
ctg x ; |
2.5. y = k − |
x |
+ ln x |
|
|
|
|
2.7. y =(kx2 − 2ex + k3 ) ctg x ;
2.9. y = logk+1 x(1 − k tg x + 3ex ); 2.11. y = kex (1 − kxk+2 + 2sin x);
2.13. y = 2 − 2kx + log3 x tg x ;
2.15.(k +1) |
x |
1 |
tg x − |
k |
|
|
; |
1 + |
k |
2 |
x |
||||
|
|
|
|
|
|||
2.17. y =(k +1)x (k tg x − 23 x ); |
|
||||||
2.19. y =(xk+1 + 3 |
x − cos x)ex ; |
||||||
|
|
− kex + |
1 |
|
|
; |
|
2.21. y = cos x k |
k |
ln x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.23. y = 4x (3 − k cos x + 3 |
|
x ); |
|
2.25.y =sin x(k − k2ex + log2 x);
2.27.y = kx (5ctg x − k log5 x −1);
2.29.y =(k +1)ex (k + 3x − sin x);
|
1 |
|
; |
2.31. y =sin x k − kex + |
k |
ln x |
|
|
|
|
2.33. y = kx (k ctg x −3logk+2 x − k2 ); 2.35. y =(k + 2)ex (3 + kxk+3 − 3cos x).
2.2. y = kex (1 − kx + cos x);
2.4. y =(k +1)x (1 − k sin x + k x ); 2.6. y = kx (k tg x − 2ln x + k2 );
2.8. y =(xk − k ctg x) logk+1 x ; 2.10. y =(xk + k ctg x) log4 x ; 2.12. y =(xk − 2 x + sin x) ex ;
k |
x |
2 |
+ 3e |
x |
− k |
2 |
|
tg x ; |
|||||||
2.14. y = |
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
2.16. y = ln x |
2 |
+ |
|
|
ctg x + 2e |
|
; |
||||||||
k |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.18.y = cos x(k2 + kex + 2ln x);
2.20.y =(4 − k ln x + (k +1)x ) tg x ;
2.22.y = (k x + k2 sin x +1) log3 x ;
2.24. y = k − k x+1 + logk+2 x tg x ; 2.26. y =( x + k3 cos x +1) log3 x ;
2.28.y = logk+1 x(k − 2ctg x + 7x );
2.30.y = 2 − k log3 x − 1 ex tg x ;
k
2.32. y =(k 3 x + k2 cos x − 2) ln x ;
2.34. y =(xk + k tg x) logk+1 x ;
28
Задача 3.
Найти производную частного функций.
3.1. y = kx2 − logk+1 x ; sin x + 2
3.3. |
y = |
k cos x + x −1 |
; |
|
ex |
||||
|
|
|
3.5. y = k2 logk+2 x − 2x + k ; cos x
3.7. y = k ln x + x2 ; sin x
3.9. y = (k +1)x − kx + sin x ; logk+1 x
3.11.y = k logk+1 x − k2 ;
xk + 2
3.13. y = |
(k +1)x − x + k2 |
; |
|
logk+1 x |
|||
|
|
3.15. y = (k + 2)x − kex ; ctg x
3.17. y = kex −sin x − kx2 ; logk+1 x
3.19. y = |
|
k ln x − xk |
; |
|
|
|
|
|
ctg x − k2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3.21. y = |
|
kx3 + ln x |
; |
|
|
|
|
|
2cos x −1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3.23. y = |
|
−k sin x + x +1 |
; |
|
|||
|
ex |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3.25. y = |
k2 logk+1 x + 3x − k |
; |
|||||
|
sin x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
3.27. y = |
|
k logk+2 x − 2x |
; |
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Варианты
3.2. y = k2ex −1 ; tg x
3.4. y = (k +1)x + k sin x ; ln x
3.6. y = k sin x + xk ; logk+2 x
3.8. y = k2ex + logk+1 x ; tg x
3.10. y = k tg x − xk − k ;
2cos x
3.12. y = 2k cos x − logk+1 x ; k2 + tg x
3.14. y = 3 − kex + 2sin x ;
(k +1)x −1
3.16. y = k tg x −(k +1)x ; cos x + k
3.18.y = 2k −(k +1)x + 2 tg x ;
xk −1
3.20. y = k cos x −3 |
x − k |
; |
||||||
|
|
2sin x −(k +1)x |
|
|||||
3.22. |
y = |
k2ex − 2 |
; |
|
|
|
||
ctg x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
3.24. |
y = |
(k + 2)x − k cos x |
; |
|||||
|
logk+2 x |
|||||||
|
|
|
|
|||||
3.26. |
y = |
xk − k cos x |
; |
|
|
|||
|
ln x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
2ex |
|
|||
3.28. y = |
log |
k+1 |
x − k |
|
||||
|
|
|
|
; |
|
|||
|
ctg x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
29
3.29. y = |
cos x + kx − (k +1)x |
|
; |
3.30. |
y = k +1 − xk + k ctg x |
; |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
ln x + k |
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|||
3.31. y = |
2k2 |
−3logk+2 |
x |
; |
|
|
|
3.32. |
y = |
2logk+2 |
x + k sin x |
|
; |
|||
|
|
|
ctg x − k2 |
|||||||||||||
|
|
xk − 3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.33. y = |
k3 + |
x − (k +1)x |
; |
3.34. |
y = |
2 + kex |
−3cos x ; |
|
||||||||
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k + 2)x + 2 |
|
|||
3.35. y = |
ex |
+ kxk+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
tg x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4.
Найти производную сложной функции.
|
|
Варианты |
|
|
4.1. y = arcsin kx + k cosln x ; |
4.2. y = cosk+1 x − ln (ex + k ); |
|||
4.3. y = arctgk+1 x + sin (kx +1); |
4.4. y = ekx − k tgln x; |
|||
4.5. y = k arccos 1 − (sin x + k )3 ; |
4.6. y = |
cos x − arctg(kex ); |
||
|
x |
4.8. y = ln (cos x + k )− arcctgk+1 x ; |
||
4.7. y = ek ln x+1 − arcsin kx ; |
||||
4.9. y = (logk+1 x +1)2 − ek tg x ; |
4.10. y = |
1 + arctg x − ek cos x ; |
||
4.11. y = arcsink+2 x − k tg(ex ); |
4.12. y = ln (k tg x + k2 )− cosk+1 x ; |
|||
4.13. y =(k +1)sin x − ln (k + x2 ); |
4.14. y =(k3 + tg x)3 − ek arcsin x ; |
|||
4.15. y =(2k )tg x − ln (1 − xk ); |
4.16. y = arctg (−kx)+ k2 tg ex ; |
|||
4.17. y = ctgk+3 x − ek arctg x ; |
4.18. y =(1 − xk )3 − arcsin (kex ); |
|||
4.19. y = |
tg x + arctg(ekx ); |
4.20. y = (k + sin x)3 − 1 − tg x ; |
||
4.21. y = k ln tg x − e2kx ; |
4.22. y = arccos3kx − k sin ln x ; |
|||
4.23. y =(ln x − k )3 + ek ctg x ; |
4.24. y =sink+1 x + logk+1 (kex ); |
|||
4.25. y =(xk − 2)3 + ek arcsin x ; |
4.26. y = arcctgk+1 x − cos(2 − kx); |
|||
4.27. y = |
1 − arcctg x + ek sin x ; |
4.28. y = k arcsin |
1 − (sin x − 2)2 ; |
|
|
|
|
|
x |
4.29. y = arccosk+1 x + k ctg(ex ); |
4.30. y =(3k )ctg x |
+ logk+2 (xk +1); |
||
4.31. y =(ctg x − k2 )3 + ek arccos x ; |
4.32. y = tg2k x + ek arcsin x ; |
|||
|
|
30 |
|
|
4.33. y = arcctg3kx − k3 sin ex ; |
4.34. y =(k − cos x)2 + ctg x − 2 ; |
|||||
4.35. y =(1 + arctg x)k+1 − k logk+1 (sin x). |
|
|||||
|
|
|
|
|
Задача 5. |
|
|
Найти производную сложной функции. |
|
||||
|
|
|
|
|
Варианты |
|
5.1. |
y = tg (k + ex ); |
5.2. |
y = ctg(ekx ); |
|||
5.3. |
y = arctgk+1 (sin x +1); |
5.4. |
y = tg (k − ln sin x); |
|||
5.5. |
y = ek tg(kx); |
|
|
5.6. |
y =sink+1 (kx +1); |
|
5.7. |
y = tg |
k − ekx ; |
5.8. |
y =(k + earctg x )k+1 ; |
||
5.9. |
y = cos3 (1 − ln kx); |
5.10. y = ln arctg k+1 x ; |
||||
5.11. y = (k + 2)sin 2kx ; |
5.12. y = cos(k − ln x ); |
|||||
5.13. y = 2arctg 3kx ; |
) |
|
5.14. y = sink+2 (ln x +1); |
|||
|
( |
|
|
5.16. y = k+11 − tg(1 + kx); |
||
5.15. y = ln 1 + e2kx |
|
; |
||||
5.17. y = arcctgk+1 |
x ; |
5.18. y = ln (k + esin x ); |
||||
5.19. y = ln arccos(kx); |
5.20. y = esink +1 x ; |
|||||
5.21. y = arcsin2 (k + ex ); |
5.22. y = arcsink+1 (tg x −1); |
|||||
5.23. y =sin (k + ln tg x); |
5.24. y = ln arctg (ex − k ); |
|||||
5.25. y = ek ctg(kx); |
|
|
5.26. y = tgk+2 (2 − kx); |
|||
5.27. y = ctg |
ekx + k ; |
5.28. y =(5k − earcsin x )k+1; |
||||
5.29. y = tg2 (2 − logk+2 (x − 2)); |
5.30. y = ln arcsin k+1 x ; |
|||||
5.31. y =(k + 2)cos kx ; |
5.32. y = tg(3 ln x + k ); |
|||||
5.33. y = 3arcsin 2kx ; |
|
|
5.34. y = tgk+1 (logk+2 x − 2); |
|||
5.35. y = logk+1 (1 − ekx ). |
|
|
31
Задача 6.
Найти уравнения нормали и касательной к графику функции y = f (x) в
точке x0 .
Варианты
6.1.f (x) = kx3 − x2 + k, x0 = −1;
6.3.f (x) = 2x − kx2 + x3 , x0 = 2 ;
6.5.f (x) = x4 − kx2 + 3, x0 = −1;
6.7. f (x) = 2x2 − kx + x3 , x0 = 2 ;
6.9. f (x) = kx − x3 + 2k, x0 = 0 ;
6.11. f (x)= k2 x − x3 + k3 , x0 =1;
6.13. f (x)=3 − kx + k2 x3 , x0 = 0 ;
6.15. f (x)=3kx2 − k3 + 2k, x0 =1;
6.17. f (x)= kx − k2 x4 + 3, x0 = −1;
6.19. f (x)= 7 − kx2 − kx3 , x0 = 2 ;
6.21.f (x)= k2 x3 + x2 −1, x0 =1;
6.23.f (x)= kx2 − 2x + x3 , x0 = −2 ;
6.25.f (x)= x4 + kx3 + 2x , x0 = −1;
6.2.
6.4.
6.6.
6.8.
6.10.
6.12
6.14.
6.16.
6.18.
6.20.
6.22.
6.24.
6.26.
32
f (x) = 2k − x4 + kx,
x0 =1;
f (x) = kx3 − kx + 4,
x0 = 0 ;
f (x) = k + kx − x3 ,
x0 = −1;
f (x) = k2 − kx3 − x4 ,
x0 =1;
f (x) =(k + 2)x2 − 3k + x4 ,
x0 = −1;
f (x)= k2 x − k2 + x3 , x0 = 2 ;
f (x)=(2 − k )x2 + x3 − 3k,
x0 = −2 ;
f (x)= x4 − kx3 + k2 ,
x0 =1;
f (x)= 2kx2 − kx3 + 3,
x0 = −1;
f (x)=(1 − k )x3 − k2 x2 +1,
x0 = 2 ;
f (x)=3k + 2x3 − kx ,
x0 = −1;
f (x)= −kx3 + 2kx −1,
x0 =1;
f (x)= k − kx + x2 , x0 =1;