Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МатАн_ЛинАлг_080100 / ЗаданияСР_МА_080100.pdf
Скачиваний:
40
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
690.03 Кб
Скачать

если f ′′(x0 ) < 0 , то x0 – точка максимума,

если f ′′(x0 ) > 0 , то x0 – точка минимума.

5.1.6.Второй способ исследования функции на экстремум

1.Найти область определения Dy функции.

2.Найти f (x) , решить уравнение f (x) = 0 . Найти критические точки.

3.Найти f ′′(x) и её значения в критических точках, сделать вывод о на-

личии точек экстремума.

4.Найти экстремумы функции.

5.1.7.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Задача. Дана непрерывная на [a, b]

функция

f (x) . Требуется найти наи-

большее M и наименьшее m значения функции f (x)

на этом отрезке.

 

 

Решение. Из чертежа (Рис. 5.1.8)

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

видно, что наибольшее и наименьшее

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = f (x)

 

 

значения функция принимает либо в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точках экстремума, либо на концах от-

 

 

 

 

x2

 

 

резка.

0

а

x

b x

1

 

 

Отсюда вытекает схема решения

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

задачи:

 

 

 

РИС. 5.1.8

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Найти y, решить уравнение y′= 0 , найти критические точки, лежащие внутри отрезка [a, b].

2.Найти значение функции в этих точках и на концах отрезка.

3.Выделить среди этих значений наибольшее и наименьшее.

5.1.8.Выпуклость, вогнутость графика функции

1) График функции f (x) называется выпуклым на интервале (a,b) , если

он лежит под касательной, проведенной к графику в любой точке интервала

(a,b) (рис. 5.1.9).

37

2) График функции f (x) называется вогнутым на интервале (a,b) , если

он лежит над касательной, проведенной к графику в любой точке интервала

(a,b) (рис. 5.1.10).

y

y = f (x)

y

y = f (x)

 

 

0 а

b

x

0 а

b

x

 

РИС. 5.1.9

 

 

РИС. 5.1.10

 

Достаточное условие выпуклости, вогнутости графика функции

1)Если f ′′(x) < 0 на (a,b) , то график функции f (x) выпуклый на (a,b) ;

2)Если f ′′(x) > 0 на (a,b) , то график функции f (x) вогнутый на (a,b) .

5.1.9.Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие перегиба.

Определение. Точка M (x0 , y0 ) , ле-

жащая на графике функции, называется точкой перегиба, если она разделяет выпуклую и вогнутую части графика (Рис. 5.1.11).

Необходимое условие перегиба

y

y = f (x) y0

0

x 0

x

 

 

РИС. 5.1.11

 

Если M0 (x0 , y0 ) – точка перегиба графика функции f (x) , то

f ′′(x0 ) либо

равна нулю, либо не существует.

 

 

 

Достаточное условие перегиба

 

 

 

Если f ′′(x0 ) = 0 или f ′′(x0 ) не существует и при переходе x через точку

′′

M0 (x0 , y0 ) ,

y0

= f (x0 ) яв-

x0 вторая производная f (x) меняет знак, то точка

ляется точкой перегиба графика непрерывной функции f (x) .

38

5.1.10.Исследование функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба

1.Найти область определения Dy функции f (x) .

2. Найти f (x), f ′′(x) , решить уравнение f ′′(x) = 0 и выделить точки, где

f′′(x) не существует. Найти критические на перегиб точки.

3.Разбить область определения функции критическими точками и точками разрыва функции на интервалы и найти знак f ′′(x) в каждом интервале.

Сделать вывод: найти интервалы выпуклости, вогнутости.

4.Найти вторые координаты точек перегиба, записать эти точки.

5.1.11.Асимптоты графика функции

Прямая называется асимптотой данной кривой, если расстояние от точки M кривой до этой прямой неограниченно уменьшается, когда точка M удаляется по кривой в бесконечность.

Различают вертикальные (Рис. 5.1.12) и наклонные (Рис. 5.1.13, Рис. 5.1.14) асимптоты.

y

 

y

 

y

 

 

M

 

M

 

M

 

 

 

 

 

0

x

0

x

0

x

РИС. 5.1.12

 

РИС. 5.1.13

 

РИС. 5.1.14

1.

Вертикальная асимптота, её уравнение имеет вид x = a . Если точка

x0 = a

является точкой бесконечного разрыва функции

f (x) , то уравнение

x = a является уравнением вертикальной асимптоты.

 

 

График функции может иметь несколько вертикальных асимптот.

2.

Наклонная асимптота,

её уравнение имеет вид

y = k x + b . Найдём

формулу для вычисления k и b , где

k = lim f (x) .

x→∞ x

39