Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МатАн_ЛинАлг_080100 / ЗаданияСР_МА_080100.pdf
Скачиваний:
41
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
690.03 Кб
Скачать

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то выполняются сле-

дующие свойства:

1) f (x) ограничена на [a, b], то есть

C > 0 : f (x) C, x [a, b];

2) f (x) принимает свои наибольшее M и наименьшее m значения на

[a, b];

3)

f (x) принимает все промежуточные значения μ между

есть существует такая точка c [a, b], в которой

f (c).

Геометрическая иллюстрация приве-

y

дена на рис. 3.1.1.

 

C

 

M

1)

График функции лежит

в полосе

μ

(C,C).

 

 

x1

2)

Изображен случай, когда

f (x1 )= m ,

O a c

m

 

 

 

f (b)= M .

C

 

m и M , то

y = f (x)

b x

3) f (c), m <μ < M .

РИС. 3.1.1

3.2.Контрольные вопросы

1)Сформулируйте определение непрерывной в точке функции.

2)Сформулируйте второе определение непрерывной в точке функции.

3)Что называется пределом слева и справа функции f (x) в точке x0 ?

4)Сформулируйте необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке.

5)Что называется точкой разрыва функции?

6)Сформулируйте свойства непрерывных функций.

7)Сформулируйте свойства функции, непрерывной на отрезке.

3.3.Практическое задание для самостоятельной работы

Вычислить пределы.

1) а) lim

3х2 5х 2

б) lim

2х2 3х +1

в)

 

х2 4

г)

 

4х + 3 2х3

2х

2

х 6

3х

2

+ х + 4

lim

 

 

lim

 

1

4х 3

x2

 

x→∞

 

 

x→−2

 

x→∞

4х 1

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

 

 

 

2) а) lim

4х2 7х + 3

 

 

б)

 

 

 

 

5х2 2х + 2

 

в) lim

 

 

2x + 3 3

 

г) lim

5х 1 2x+1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2х

+ х 1

 

 

 

2х

 

+ х 3

 

 

 

 

х

2

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→−1

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

5х + 4

3) а)

 

 

2х2 9х + 9

 

б)

 

 

 

3х2 5х + 4

 

в) lim

 

 

 

х 2

 

 

 

 

г)

 

2х 7 4x+1

lim

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

х

 

5х + 6

 

 

 

 

 

х

х +1

 

 

х

6х +

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ 2х 3

4) а)

 

 

5х х2 4

 

б)

 

 

 

2х2 + х 4

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +1

 

 

 

 

 

 

г)

 

4х +1 12x

lim

х

2

 

2х 8

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х 4x

2

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 +

 

 

 

 

3х + 7

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

x→−1

 

 

 

 

 

 

x→∞

4х

3

5) а)

 

 

 

 

 

 

x2 2x 8

 

 

 

б) lim

 

 

3х2 + 5х + 4

в) lim

 

 

 

х + 3 2

г) lim

5х 2 32х

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

2

+ 5x + 2

 

 

 

 

2

х

х

+1

 

 

 

 

 

 

х 1

 

 

 

 

 

 

x→−2

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

5х +

3

6) а)

 

 

3х2 2х 1

б)

 

 

 

2х2 2х +1

 

в) lim

 

 

 

 

х2 х 2

 

 

 

 

г)

 

6х 7 3х+2

lim

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

х

4х +

3

 

3х

2

 

+ 4х + 2

 

 

 

 

 

4х +1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ 6х + 4

7) а)

 

 

 

 

 

 

6 х х2

 

 

 

 

б) lim

 

3х2 + х 6

 

в) lim

 

 

 

 

 

х2 25

 

 

 

 

 

г)

 

2х + 3 х+1

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

3х

2

+ 8х

3

 

2х

 

х + 2

 

 

 

 

2х 1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

x→−3

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

x5

 

 

 

 

 

 

x→∞ 2х +1

8) а) lim

 

 

 

 

 

х2 3

 

 

 

б)

 

 

 

х2 3х + 4

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x 2

 

 

г)

 

х +1

х+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4х 1

2

х

2

 

+ 5х 1

 

4

 

1 5x

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 5х

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

x→−3

 

 

 

 

 

 

x→∞

х 1

 

9) а) lim

 

х2 + 2х 8

б) lim

3х2 2х 1

в) lim

1+3х 2х+6

г) lim

х 2 1х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

х

3

 

 

 

 

 

2

 

 

7

 

 

 

 

 

х

2

5х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ 5х

 

 

 

 

х 2

 

x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

х +

3

10) а) lim

 

 

 

2х2 +5х3

б) lim

 

 

8х2 3х + 9

в) lim

 

 

2х 1 5

 

г) lim

х + 5 2х3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

+11х+

6

 

 

2х

2

 

+ 2х +

5

 

 

 

 

 

х 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→−3 3х

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ х +

8

21