Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Математический анализ

.pdf
Скачиваний:
44
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
1.35 Mб
Скачать

b

f (x)dx

m

a

 

 

M .

 

b a

 

 

 

 

 

Введем обозначение

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx

 

μ =

a

 

 

 

.

(14)

 

b a

 

 

 

 

 

 

 

Тогда, в силу полученных оценок, число μ удовлетворяет неравенствам

m ≤μ ≤ M .

 

 

 

 

 

По условию теоремы функция

f (x) непрерывна на отрезке [a,b] . Поэто-

му она принимает на этом отрезке все промежуточные значения между m и M.

Следовательно, найдется такая точка c [a,b], в которой

f (c) . Подставляя

это значение μ в равенство (14), получим:

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx

 

b

 

 

 

 

 

a

= f (c) f (x)dx = f (c)(b a) .

 

 

 

 

b a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрический смысл теоремы

 

 

 

 

(рис. 3.4.6).

 

y

 

 

y = f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим:

 

 

A

 

B

 

 

b

 

f (c)

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

f (x)dx = Sкр. трап.

– площадь криво-

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

линейной трапеции,

 

 

 

 

 

 

2)

f (c)(b a) = SaABb

– площадь пря-

 

c

с1 b

x

 

 

 

O a

моугольника aABb с основанием b a и вы-

 

РИС. 3.4.6

 

сотой f (c) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда доказанная теорема утверждает, что существует точка c [a,b],

для

которой

 

 

 

 

 

 

 

Sкр. трап. = SaABb .

Точка c необязательно будет единственна. Так для функции y = f (x) ,

представленной на рис. 3.4.6, таких точек две: c и c1.

81

С доказанной выше теоремой связано очень важное и имеющее многочисленные приложения понятие среднего значения функции.

Средним значением

yср функции y = f (x) , непрерывной на отрезке

[a,b] , называется величина

 

 

 

 

b

 

 

 

 

f (x)dx

 

y

=

a

 

.

 

 

ср

 

b

a

 

 

 

 

Понятие среднего значения функции очень часто употребляется в физике, механике, технике и т.д. Многие величины часто характеризуются своими средними значениями. Например, давление пара, сила и напряжение переменного тока, скорость химической реакции и многие другие.

3.4.4.Вычисление определенного интеграла

3.4.4.1.Интеграл с переменным верхним пределом

b

Рассмотрим определенный интеграл f (x)dx .

a

Пусть a – фиксированное число, а b – переменная величина. Тогда различным значениям b будут соответствовать различные значения интеграла,

следовательно, интеграл есть функция верхнего предела.

 

Обозначив верхний предел интегрирования

y

 

через x, а переменную интегрирования через t,

A

 

 

X

получим функцию

 

 

 

x

 

 

Φ(x) = f (t)dt .

 

 

a

 

 

Если f (t) 0 , то Φ(x) – площадь криволи-

O a

x t

нейной трапеции aAXx (рис. 3.4.7) с переменным

 

РИС. 3.4.7

основанием [a, x].

 

 

82

3.4.4.2. Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Если F(x) – какая-то первообразная непрерывной функции f (x) , то справедлива фор-

мула

b

f (x)dx = F (b) F (a).

a

Эта формула называется формулой Ньютона–Лейбница.

Доказательство. Функция F(x) – заданная первообразная для функции f (x) . По теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом

x

функция Φ(x) = f (t)dt также является первообразной для f (x) . Но так как

a

две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянную, то

F(x) (x) +C .

Тогда

F(b) F(a) = (Φ(b) + C ) (Φ(a) + C ) = Φ(b) − Φ(a) =

b a b

= f (t)dt f (t)dt = f (t)dt .

a a a

Вернемся теперь к обычному обозначению переменной интегрирования через x. Окончательно получим

b

f (x)dx = F (b) F (a) .

a

Введем знак «двойной подстановки»:

F (x) |ba = F (b) F (a) .

Тогда формулу Ньютона–Лейбница можно записать в виде

b

f (x)dx = F(x) |ba = F(b) F(a) .

a

Эта формула используется для вычисления определенного интеграла

b

f (x)dx . Сначала находится первообразная F(x) для подынтегральной функ-

a

83

ции f (x) (эта задача была решена в Разделе I), а затем вычисляется разность

F(b) F(a) .

Примеры.

2

 

x4

 

2

 

24

1

 

 

15 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. x3dx =

 

 

=

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

4

 

1

 

4

4

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

xdx

 

 

 

1

1

2xdx

 

 

 

1

1 d(1 + x2 )

= 1 + x2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

=

2

 

 

 

=

2

 

 

= 2 1.

1 + x2

 

1 + x2

 

1 + x2

0

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

3.4.4.3. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом

Теорема.

Если f (x) – непрерывная функция, то

 

 

x

 

 

 

Φ (x) = f (t)dt = f (x) ,

 

 

a

 

то есть производная интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции.

 

 

 

Доказательство. Найдем производную Φ (x) по шагам.

1. Дадим аргументу x приращение x и вычислим значение функции в

точке x + x :

 

 

 

xx

x

xx

xx

Φ(x + x)= f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt = Φ(x) + f (t)dt .

a

a

x

x

Здесь использовано свойство аддитивности.

 

2. Найдем приращение функции

 

 

 

 

x+ x

xx

ΔΦ = Φ(x + x) − Φ(x) = Φ(x) + f (t)dt − Φ(x) = f (t)dt .

 

 

x

x

К полученному интегралу применим теорему о среднем, в силу которой

существует такая точка с, заключенная между x и x +

x , что

 

xx

 

 

ΔΦ = f (t)dt = f (c)(x + x x) = f (c) x .

x

3. Найдем отношение

84

Φ

=

f (c) x

= f (c) .

x

 

 

 

x

 

 

4. Вычислим предел при

x 0 и найдем производную

 

 

Φ

= lim f (c) .

Φ (x) = lim

x

 

x0

 

x0

Так как точка с заключена между x и x + x и x 0 , то c x. Оконча-

тельно, в силу непрерывности

f (x) , имеем

f (c) = lim f (c) = f (x) .

Φ (x) = lim

x0

cx

Из доказанной теоремы следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную.

Действительно, в силу теоремы существования определенного интеграла для всякой непрерывной функции f (x) существует интеграл

x

Φ(x) = f (t)dt .

a

Но так как по доказанному Φ′(x) = f (x), то Φ(x) – первообразная для функции f (x) .

3.4.5. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 19. Пусть дан

b

f (x)dx ,

a

где f (x) – непрерывная на [ a,b] функция. Пусть x (t) , причем ϕ(t) удовле-

творяет условиям:

1)ϕ(t) , ϕ′(t) непрерывны на [ α,β],

2)ϕ(α) = a , ϕ(β) =b .

Тогда имеет место формула

 

b

β

 

 

 

(15)

 

f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ (t)dt .

 

a

α

 

Доказательство. Из условий теоремы и свойств непрерывных функций

следует, что обе подынтегральные функции из формулы (15) непрерывны:

f (x)

– непрерывна на [ a,b],

– непрерывна на [ α,β]. Следовательно, ин-

f [ϕ(t)]ϕ (t)

 

 

85

 

тегралы в формуле (15) существуют. Покажем, что они равны одному значению.

Если F(x) – первообразная для f (x) , т.е.

f (x)dx = F(x) + C ,

то по формуле Ньютона-Лейбница имеем

b

f (x)dx = F (x) ba = F (b) F (a) .

a

Так как

(свойство инвари-

f [ϕ(t)]ϕ (t)dt = f [ϕ(t)]d[ϕ(t)] = F[ϕ(t)] + C

антности формул интегрирования), то F[ϕ(t)] – первообразная для

f [ϕ(t)]ϕ (t) .

Следовательно,

 

 

 

β

β

 

 

 

 

f [ϕ(t)]ϕ (t)dt = F[ϕ(t)]|α = F[ϕ(β)] F[ϕ(α)] = F(b) F(a) .

α

Сравним доказанную формулу (15) с формулой (7) замены переменной в неопределенном интеграле. Подынтегральные функции в этих формулах совпадают, отличия состоят в следующем:

в определенном интеграле обязательна смена пределов интегрирования по

формулам ϕ(α) = a ,

ϕ(β) =b ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

после вычисления неопределенного интеграла необходимо вернуться к

старой переменной, в определенном интеграле этого делать не нужно.

 

 

Примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Найти

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1 +

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Положим x = t2 ,

dx = 2tdt ,

 

x

= 0 t = 0 ,

x

2

= 4 t

2

= 2 . То-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

гда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

dt = 2(t

 

 

 

 

 

 

 

 

02 )= 4

 

 

 

 

 

 

 

dx

=

2tdt =

21

 

 

1

 

02 ln

 

t +1

 

 

 

2ln 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+ x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

1 + t

0

 

 

+ t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Найти

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

86

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Положим x = sin t, dx =costdt,

x =

2

t

= π ,

x =1 t

2

= π

 

 

1

2

1

4

2

2

 

 

 

 

 

. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1 x2

 

2

 

1 sin2 t

2 cos2 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

 

costdt =

 

2

 

dt =

 

 

 

 

x

2

 

 

 

sin

2

t

 

t

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

π

 

 

 

π sin

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

π

 

 

 

2

1 sin2 t

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

2

 

 

dt =

 

 

 

 

 

1 dt = −ctgt

π2

t

 

π2 =1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

π

 

sin

 

t

 

π

sin

 

t

 

 

4

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.4.6. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема 20. Если u(x) ,

v(x) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

u (x) , v (x) , – непрерывны на отрезке [ a,b

], то имеет место формула

 

 

 

b

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

udv = uv |ba vdu ,

 

 

 

 

 

 

(16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

которая называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Доказательство. В силу предположений теоремы, интегралы в доказываемой формуле (16) существуют. Кроме того, заметим, что формулу Ньютона – Лейбница можно записать в виде

b

f (x)dx = F(x) ba = (f (x)dx)ba .

a

Используя это соображение и формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла, получим

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

udv = (udv)

 

b = (uv vdu)

 

b

= uv

 

ba

(vdu)

 

b

= uv

 

ba vdu .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

π

Найти 2 xcos xdx .

0

Решение. Пусть u = x , du = dx, dv =cos xdx , v =sin x .

87

π

π

 

 

 

 

 

 

2 xcos xdx = xsin x

 

π

2 sin xdx = xsin x

 

π

 

 

π

 

π

 

 

02

 

02

+ cos x

 

02

=

1.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.5.Приложения определенного интеграла

3.5.1.Вычисление площади криволинейной трапеции

Вычисление площадей плоских фигур основано на геометрическом смыс-

b

ле определенного интеграла: если f (x) 0 на [a,b], то f (x)dx – это площадь

a

криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y = f (x) , и имеющей в основании отрезок [a,b].

В этом пункте рассмотрим различные случаи расположения криволиней-

ной трапеции,

которая определяется основанием и кривой y = f (x) . Найдем ее

площадь в каждом случае.

]

 

 

[

 

]

y

 

 

 

 

 

 

1. Основание

x

[

a,b

,

f (x) 0 на

a,b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 3.5.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда f (x)dx 0 . В силу геометрического

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

смысла интеграла

площадь

 

S криволинейной

O a

 

 

 

 

 

b x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

трапеции вычисляется по формуле S = f (x)dx .

 

 

РИС. 3.5.1

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Основание

x [a,b],

f (x) 0 на

[a,b]

y

 

 

 

 

 

b

(рис. 3.5.2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

x

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

f (x)dx 0 .

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = f (x)

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = −f (x)dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РИС. 3.5.2

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

88

3. Основание x [a,b], f (x) меняет знак на

[a,b] (рис. 3.5.3).

b

Интеграл f (x)dx разбиваем на сумму ин-

a

y

 

 

+

y = f (x)

 

+

 

 

O a c

d b x

 

 

тегралов

РИС. 3.5.3

b

c

d

b

f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx .

a

a

c

d

c

d

 

b

Здесь f (x)dx 0,

f (x)dx 0,

 

f (x)dx 0.

a

c

 

d

c d b

Следовательно, S = f (x)dx f (x)dx + f (x)dx .

a c d

4. Основание x [a,b],

= f1(x), x [a,c], f (x)

f (x), x [c,b],

2

(рис. 3.5.4).

Используя свойство аддитивности интеграла, получим

c d

S = f1(x)dx + f2 (x)dx .

ac

5.Основание y [c,d ] на оси Oy, кривая,

ограничивающая трапецию, имеет уравнение x = ϕ( y) (рис. 3.5.5).

d

Тогда S = ϕ( y)dy .

c

Примеры.

89

y

y = f2

(x)

 

y = f1 (x)

O

a

с

b x

 

 

РИС. 3.5.4

 

y

 

 

 

d

 

 

 

 

 

x = ϕ( y)

 

с

 

 

 

O

 

x

РИС. 3.5.5

1. Найти площадь S криволинейной

 

 

 

 

 

трапеции, ограниченной

линиями: y = x3 ,

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 0 , x = −1, x =1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x3

 

Построим чертеж (рис. 3.5.6). Так как

 

 

 

 

 

 

+

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3dx 0 , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = −x3dx + x3dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

0

 

 

 

x4

 

1

1

 

 

1

1

 

 

 

РИС. 3.5.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

=

4

+

4 = 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Найти S

криволинейной трапеции,

 

 

 

 

 

ограниченной линиями:

y = x +1, y = cos x ,

 

 

 

 

 

y = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

y = x +1

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим плоскую фигуру (рис. 3.5.7).

 

y = cos x

Тогда искомая площадь будет суммой двух

 

 

 

 

 

интегралов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

O

 

π x

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

S = (x +1)dx + cos xdx =

РИС. 3.5.7

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(x +1)2

 

0

+ sin x

 

π/2

=

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.5.2. Вычисление площадей плоских фигур

Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную линиями y = f1(x) , y = f2 (x)

и прямыми x = a , x = b . Пусть

f1(x) f2 (x) на отрезке [ a,b]. Требуется найти

площадь этой фигуры.

 

В случае 0 f1(x) f2 (x)

из рис. 3.5.8 видно, что площадь фигуры вычис-

ляется как разность площадей двух криволинейных трапеций

90