080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Математический анализ

Приближенно значения функции можно вычислить по формуле

f (x) ≈ a0 + a1(x − x0 ) +…+ an (x − x0 )n .

Погрешность этого равенства равна значению суммы остатка ряда

α = rn (x) = an+1(x − x0 )n+1 + an+2 (x − x0 )n+2 +….

Погрешность легче оценить, если исходный степенной ряд удовлетворяет усло-

виям признака Лейбница. В этом случае α < an+1(x − x0 )n+1 .

Примеры.

1) Найти приближенное значение sin18 и оценить погрешность. Решение. Для вычисления воспользуемся приближенным равенством

sin x ≈ x − x3 , которое получается при оставлении в ряде Тейлора первых двух

3!

Оценим погрешность, учитывая, что при x ≤1 ряд Тейлора для функции sin x удовлетворяет условиям признака Лейбница. Поэтому остаток ряда, можно оценить с помощью теоремы 3.2.2. По этой теореме сумма остатка не превосходит по модулю старшего из отброшенных членов. Следовательно, по-

вые слагаемые этого ряда. Тогда остаток ряда будет иметь требуемую оценку:

151

Значит, достаточно взять сумму первых четырех слагаемых. Тогда e ≈1 +1 + 12 + 16 ≈ 2.7 .

6.1.4.2. Вычисление интегралов

Разложив подынтегральную функцию в степенной ряд можно вычислить интеграл, который не удается найти обычными методами. Например, доказано, что интеграл

так называемый интегральный синус, нельзя вычислить с помощью формулы Ньютона-Лейбница, так как его первообразную не удается выразить через элементарные функции.

Пример. Разложить в степенной ряд интегральный синус. Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора:

Сумма этого ряда не является элементарной функцией. Интегральный синус используется, например, в некоторых разделах теоретической физики. Для него составлены подробные таблицы.

6.1.4.3. Решение дифференциальных уравнений

Пусть требуется решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка

y′ = f (x, y); y(x0 ) = y0 .

152

ным дифференцированием обеих частей данного дифференциального уравнения с использованием начального условия.

Пример. Дано дифференциальное уравнение y′ = xy2 +1 с начальным условием y(1) =1. Найти четыре первых члена разложения решения в ряд.

Решение. Так как x0 =1, то по общей формуле имеем

y (x) = y (1) + y1!′(1) (x −1) + y′′2!(1) (x −1)2 + y′′′3!(1) (x −1)3 +….

Значит для записи первых четырех членов ряда надо найти y(1) , y′(1) , y′′(1) и

третью производную и ее значение при x=1:

y′′′(x) = 2yy′+ 2yy′ + 2x( y′)2 + 2xyy′′, y′′′(1) = 2 1 2 + 2 1 2 + 2 1 22 + 2 1 1 5 = 26

и получим ответ:

y (x) ≈1 + 2(x −1) + 52 (x −1)2 +133 (x −1)3 .

6.1.5.Гармонический анализ

6.1.5.1.Периодические функции, их свойства, гармоники

В науке и технике часто встречаются различные колебания: электрические, электромагнитные, акустические и т.д. Математики для описания таких процессов используют периодические функции. Эти функции исследуют и вычисляют, разлагая их в тригонометрические ряды. Впервые тригонометриче-

153

ские ряды были введены Д. Бернулли в 1753 г. в связи с изучением колебаний струны. Однако вопрос о возможности такого разложения вызвал горячие споры среди математиков. Строго обоснован этот метод был в работах Фурье и Дирихле в двадцатых годах XIX века.

II.4.1.1.1.10. Определение периодической функции

Функция f (x) называется периодической, если существует постоянное число T > 0 , для которого f (x +T) = f (x) , каково бы ни было число x из обла-

сти определения этой функции. Число T c таким свойством называется периодом функции f (x) . Наиболее известными периодическими функциями являют-

ся тригонометрические функции: sin x , cos x , tg x , ….

II.4.1.1.1.11. Свойства периодической функции

Сумма, разность, произведение и частное функций периода T, очевидно, всегда дают функции того же периода.

Если построить график периодической функции y = f (x) для какого-

нибудь отрезка [a,a +T ] значений x, то полный график этой функции получит-

ся периодическим повторением построенного (рис. 6.1.1). y

РИС. 6.1.1

154

6.1.5.2. Гармоники, тригонометрический многочлен и тригонометрический ряд

II.4.1.1.1.12. Гармоники

Простейшей, и в то же время очень важной для приложений, является периодическая функция y = Asin(ωx + ϕ), где A, ω, ϕ – постоянные.

Эту функцию называют гармоникой с амплитудой A , частотой ω и

начальной фазой ϕ .

Гармоника имеет период T = 2πω. Пользуясь известной формулой синуса суммы, напишем:

Обратно, всякая функция этого вида есть гармоника. Чтобы убедится в этом, достаточно найти А и ϕ из (86). При этом получим:

A = a2 +b2 , tg ϕ= ba .

В дальнейшем для гармоник мы будем пользоваться записью вида (87). Немного изменим запись гармоники, выразив частоту через период T. Положим T = 2 . Тогда вследствие равенства T = 2π / ω получим:

ω= 2Tπ = π ,

и, следовательно, гармоника с периодом T = 2 может быть записана в виде: a cos πx + bsin πx .

II.4.1.1.1.13. Тригонометрический многочлен и тригонометрический ряд

Рассмотрим последовательность гармоник

называется тригонометрическим рядом.

Задача разложения функции в тригонометрический ряд называется задачей гармонического анализа. Если эта задача решена, то описываемый функцией периодический процесс расщепляется на простейшие гармонические колебания. При этом многие вопросы изучения процесса сводятся к соответствующим вопросам для гармонических колебаний. В этом состоит значение тригонометрических рядов для приложений.

II.4.1.1.1.14. Свойства сходящегося тригонометрического ряда

Скалярным произведением двух функций f (x) и g(x) , определенных

b

на отрезке [a,b] , называется число ∫ f (x)g(x)dx . Две функции называются ор-

a

тогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Система функций называется ортогональной (на отрезке [a,b] ), если любые две функции

этой системы ортогональны.

Теорема. Система функций

1, cos πx , sin πx , …, cos πnx , sin πnx , …

ортогональна на отрезке [− , ]. Кроме того,

156

∫ cos2 πnx dx = , ∫sin2 πnx dx = .

−−

6.1.5.3.Ряд Фурье периодической функции

II.4.1.1.1.15. Определение

Пусть функция f (x) разложена в тригонометрический ряд:

Наша задача найти коэффициенты a0 , an , bn . Чтобы найти, например, an

умножим скалярно обе части последнего равенства на cos πnx . По свойству ор-

тогональности скалярные произведения этой функции на слагаемые в правой части будут равны нулю, за исключением слагаемого содержащего такой же косинус. Тогда

Выразив отсюда коэффициент an , получим формулу

an = 1 ∫ f (x)cos πnx dx .

−

Рассуждая аналогично, запишем формулы для всех коэффициентов:

коэффициенты, которого определены формулами Эйлера-Фурье, называется рядом Фурье.

157

II.4.1.1.1.16. Ряды Фурье четной и нечетной функций

Рассмотрим теперь, как отыскиваются коэффициенты ряда Фурье, если разлагаемая функция обладает свойством четности или нечетности. Нетрудно показать следующие свойства:

– если F(x) – четная функция, то ∫ F(x)dx = 2∫F(x)dx ;

Геометрически эти утверждения очевидны, поскольку график четной функции симметричен относительно оси Oy (рис. 6.1.2, а), а нечетной функции

– относительно начала координат (рис. 6.1.2, б). Применим сказанное к формулам Эйлера-Фурье.

можно уменьшить вдвое.

Вывод. Если функция f (x) четна, то она разлагается в ряд косинусов,

(bn = 0) причем справедливы упрощенные формулы

158